Czy można użyć schematu numerycznego do określenia poprawności problemu wartości początkowej lub brzegowej?

Wiem, że możemy zastosować techniki analizy matematycznej, aby udowodnić, czy IVP lub BVP ma rozwiązanie, jest unikalne i zależy w sposób ciągły od wartości granicznych / początkowych. W przypadku niektórych PDE, szczególnie nieliniowych pde, bardzo trudno jest, jeśli nie niemożliwe, udowodnić dobrą postawę. Czy istnieje jakaś technika numeryczna pozwalająca sprawdzić, czy problem jest dobrze postawiony, czy nie?

Ogólnie nie. Czasami można zastosować rozwiązanie numeryczne jako przybliżoną miarę wskazującą, czy warunki brzegowe są wystarczające, na przykład do identyfikacji domen „pływających”, ale istnieje wiele przypadków, w których dyskretne rozwiązania dają wręcz mylące informacje na temat problemu kontinuum.

1. Dyfuzja poradnicza wymaga warunku brzegowego na wszystkich granicach, ale systemy dyskretne nie mogą stosować żadnego warunku brzegowego na odpływie (nie jest to jednorodny warunek Neumanna, naprawdę nie mam warunku brzegowego). Co więcej, jest dokładniejszy niż dyskretna reprezentacja warunku brzegowego kontinuum. Zobacz Papanastasiou, Malamataris, Ellwood 1992 i Griffiths 1997 w celu uzyskania szczegółowych informacji. Podobny warunek brzegowy jest również ważny w przypadku poślizgu na zakrzywionych powierzchniach, patrz Behr 2004 .

2. „Zjawisko karbuncle” dotyczy niektórych metod przepływu ściśliwego. Nie jest to do końca dobrze zrozumiane, ale pozornie solidne schematy numeryczne mogą zbiegać się w fałszywe rozwiązania. Przykład z Robinet i in. 2000

3. Fałszywe rozwiązania nieściśliwego Naviera-Stokesa w reżimie laminarnym. Prosty przykład wnęki napędzanej pokrywką podano w Schreiber i Keller 1983 .

4. Systemy hiperbolicznych praw zachowania z niefizycznym względnym rozmiarem rozpraszania numerycznego. Zawsze wymagane jest pewne rozpraszanie numeryczne, ale w przeciwnym razie niezawodne (np. Godunow) metody mogą systematycznie zbierać się do niepoprawnych wyników, jeśli rozpraszanie numeryczne kończy się niefizycznym. Prosty przykład podano w Mishra i Spinolo 2011gdzie standardowa metoda Godunowa jest zbieżna z nieprawidłowym wynikiem dla zlinearyzowanej płytkiej wody 1D. Przedstawia się to w głębszej formie w dużej symulacji wirów. Lepkość wirowa jest fizycznym przejawem skal podsiatki, ale jeśli (nieuniknione) rozproszenie numeryczne jest większe niż rozproszenie fizyczne, symulacja może zbiegać się do systematycznie niepoprawnych wyników. W praktyce zamknięcia podsiatkowe dla lepkości wirowej są bardzo ważne. Jest to kwestia ograniczenia liczby pojedynczej na właściwej (fizycznej) ścieżce.

5. Efekty blokowania w trybach elastyczności lub szachownicy przy nieściśliwym przepływie. Wynika to z wybrania niestabilnej przestrzeni aproksymacyjnej i są teraz bardzo dobrze rozumiane, przynajmniej w przypadku problemów liniowych, ale poleganie na numerycznym rozwiązaniu w celu wywnioskowania dobrze postawionej pozycji może doprowadzić do wniosku, że nieściśliwy limit był źle ustawiony.