Kolejność operacji, algorytmy numeryczne

Przeczytałem to

(1) Czynności źle uwarunkowane należy wykonać przed czynnościami dobrze uwarunkowanymi.

Jako przykład należy obliczyć $xz-yz$ jako $(x-y)z$ ponieważ odejmowanie jest źle uwarunkowane, podczas gdy mnożenie nie.

Jednak analiza błędów pierwszego rzędu obu algorytmów ujawnia, że ​​różnią się one tylko trzykrotnie (*) i nie rozumiem, dlaczego można to uogólnić na wyrażenie (1), ani intuicyjnie nie rozumiem znaczenia kolejność operacji. Czy uważasz, że stwierdzenie to (1) jest przyjętą zasadą i czy masz na to inne wyjaśnienia?

*: dokładniej, w pierwszej wersji występuje błąd względny ograniczony

$$\text{eps}+3\frac{|x|+|y|}{|x|-|y|}\text{eps}$$ podczas gdy błąd względny drugiej wersji jest ograniczony przez

$$3\text{eps}+\frac{|x|+|y|}{|x|-|y|}\text{eps}$$

gdzie $\text{eps}$ jest precyzją maszyny.

Analiza ta opiera się na założeniu, że $i$ ty wynik pośredni jest mnożony przez $(1+\varepsilon_i)$ (z powodu błędów zaokrąglania), gdzie $\varepsilon_i$ są zmiennymi losowymi iid ograniczonymi przez $\text{eps}$ . „Pierwszego rzędu” oznacza, że ​​terminy wyższego rzędu, takie jak $\epsilon_i\epsilon_jx$ , są zaniedbywane.

Oznaczmy przez (byłem leniwy, próbując uzyskać wersję operatora dzielenia w kółku) odpowiednio zmiennoprzecinkowe analogi dokładnego mnożenia ( × ), dodawania ( + ) i odejmowania ( - ). Zakładamy (IEEE-754), że dla wszystkich [ x ⊕ y ] = ( x + y ) ( 1 + δ ⊕ ) $\otimes,\oplus,\ominus$$\times$$+$$-$ gdzie ϵ m a c h to epsilon maszyny dający górną granicę błędu względnego z powodu zaokrąglenia. Będzie również użyć następującego lematu (przy założeniu, że wszystkie | δ I | ≤ ε m o c h i m nie jest zbyt duży), które mogą być łatwo sprawdzone: m Π i = 1 ( 1 + δ I ) = 1 + θ

$$[x\oplus y]=(x+ y)(1+\delta_\oplus),\quad |\delta_\oplus|\le\epsilon_\mathrm{mach},$$ $\epsilon_\mathrm{mach}$$|\delta_i|\le\epsilon_\mathrm{mach}$$m$ $$\prod\limits_{i=1}^{m}(1+\delta_i)=1+\theta(m),\quad |\theta(m)|\le\frac{m\epsilon_\mathrm{mach}}{1-m\epsilon_\mathrm{mach}}$$

Zdefiniujmy prawdziwą funkcję która działa na liczbach rzeczywistych x , y , z jak$f$$x,y,z$

$$f(x,y,z)=(x\times z)-(y\times z)$$

oraz dwie wersje implementacji funkcji w arytmetyki zmiennoprzecinkowej zgodnej z IEEE jako i ~ f 2, które działają na reprezentacjach zmiennoprzecinkowych ˜ x = x ( 1 + δ x ) , ˜ y , ˜ z , w następujący sposób:$\tilde{f_1}$$\tilde{f_2}$$\tilde{x}=x(1+\delta_x),\tilde{y},\tilde{z}$

$$\tilde{f_1}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z})=(\tilde{x}\otimes\tilde{z})\ominus(\tilde{y}\otimes\tilde{z}),$$

$$\tilde{f_2}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z})=(\tilde{x}\ominus\tilde{y})\otimes\tilde{z}.$$

Analiza błędów dla :$\tilde{f_1}$

$$\begin{aligned} \tilde{f_1}&=\Big(\underbrace{\big(x(1+\delta_x)\times z(1+\delta_z)\big)\big(1+\delta_{\otimes_{xz}}\big)}_{(\tilde{x}\otimes\tilde{z})}-\underbrace{\big(y(1+\delta_y)\times z(1+\delta_z)\big)\big(1+\delta_{\otimes_{yz}}\big)}_{(\tilde{y}\otimes\tilde{z})}\Big)\Big(1+\delta_{\ominus}\Big)\\ &=xz(1+\delta_x)(1+\delta_z)(1+\delta_{\otimes_{xz}})(1+\delta_\ominus)-yz(1+\delta_y)(1+\delta_z)(1+\delta_{\otimes_{yz}})(1+\delta_\ominus)\\ &=xz(1+\theta_{xz,1})-yz(1+\theta_{yz,1}). \end{aligned}$$ $|\theta_{xz,1}|,|\theta_{yz,1}|\le\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}$

$\tilde{f_2}$

$$\begin{aligned} \tilde{f_2}&=\Bigg(\Big(\big( x(1+\delta_x)-y(1+\delta_y \big)\big(1+\delta_{\ominus_{xy}}\big)\Big)\times \Big(z(1+\delta_z)\Big)\Bigg)\Bigg(1+\delta_{\otimes}\Bigg)\\ &=xz(1+\delta_x)(1+\delta_z)(1+\delta_{\ominus_{xy}})(1+\delta_\otimes)-yz(1+\delta_y)(1+\delta_z)(1+\delta_{\ominus_{xy}})(1+\delta_\otimes)\\ &=xz(1+\theta_{x,2})-yz(1+\theta_{y,2}). \end{aligned}$$ $|\theta_{x,2}|,|\theta_{y,2}|\le\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}$

$\tilde{f_1}$$\tilde{f_2}$$\tilde{f_2}$$\tilde{f_1}$

$x$$y$

$$\begin{aligned} \frac{|\tilde{f_1}-f|}{|f|}&=\frac{|xz+xz\theta_{xz,1}-yz-yz\theta_{yz,1}-(xz-yz)|}{|xz-yz|}=\frac{|x\theta_{xz,1}-y\theta_{yz,1}|}{|x-y|}\\ &\le\frac{|x|+|y|}{|x-y|}\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}, \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \frac{|\tilde{f_2}-f|}{|f|}&=\frac{|xz+xz\theta_{x,2}-yz-yz\theta_{y,2}-(xz-yz)|}{|xz-yz|}=\frac{|x\theta_{x,2}-y\theta_{y,2}|}{|x-y|}\\ &\le\frac{|x|+|y|}{|x-y|}\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}. \end{aligned}$$

$\theta$$x,y,z$$(x-y)$$x$$y$

$x,y,z,f(x,y,z)\in\mathbb F_0$$\mathbb F_0$