Jaki jest ogólny pomysł metody Nitsche w analizie numerycznej?

Wiem, że metoda Nitschego jest bardzo atrakcyjną metodą, ponieważ pozwala słabo uwzględniać warunki brzegowe typu Dirichleta lub kontakt z warunkami brzegowymi tarcia bez użycia mnożników Lagrange'a. A jego zaletą, którą jest przekształcenie warunku brzegowego Dirichleta w słabe warunki, podobnie jak warunek brzegowy Neumanna, sprzyja fakt, że implementacja zależy od modelu.

Jednak wydaje mi się to zbyt ogólne. Czy możesz podać mi bardziej szczegółowe pojęcie o tej metodzie? Doceniony zostanie prosty przykład.

finite-element boundary-conditions elliptic-pde nitsche-method Anh-Thi DINH
źródło

Chyba nie rozumiem twojego pytania. Prawidłowo identyfikujesz przyczynę wynalezienia metody (do obsługi warunków Dirichleta w słabej formie). Co rozumiesz przez „Jednak wydaje mi się to zbyt ogólne. Czy możesz podać mi bardziej szczegółowe wyobrażenie o tej metodzie? Prosty przykład jest kosztowny”.

Wolfgang Bangerth,

@WolfgangBangerth: Potrzebuję (prostego) przykładu dla tego pomysłu. To dla mnie takie abstrakcyjne.

Anh-Thi DINH

@ Oliver: Zakładam, że masz na myśli „kosztowny”, jak w „drogi”, „cenny”, czyli „doceniony”? Pozwoliłem sobie zmienić słowo; jeśli się nie zgadzasz, możesz cofnąć edycję.

Christian Clason,

Metoda Nitschego jest związana z nieciągłymi metodami Galerkina (w rzeczywistości, jak zauważa Wolfgang, jest prekursorem tych metod) i można ją wyprowadzić w podobny sposób. Rozważmy najprostszy problemu, równanie Poissona: Szukamy teraz wariacyjnego sformułowania, które

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} - Δ u & = f on Ω, \\ u & = g on \partial Ω . \end{aligned} \end{matrix}

$\left\{\begin{aligned} -\Delta u &= f \qquad\text{on }\Omega,\\ u &= g \qquad\text{on }\partial\Omega. \end{aligned}\right. \tag{1}$

spełnia (słabe) rozwiązanie (tj. spójne), $u\in H^1(\Omega)$
jest symetryczny i , $u$ $v$
dopuszcza unikalne rozwiązanie (co oznacza, że forma dwuliniowa jest koercyjna).

Zaczynamy jak zwykle przyjmując silną postać równania różniczkowego, mnożąc przez funkcję testową i całkując przez części. Zaczynając od prawej strony, otrzymujemy $v\in H^1(\Omega)$ gdzie w ostatnim równaniu dodaliśmy produktywne zerona granicy. Zmiana układu wyrazów na oddzielne formy liniowe i dwuliniowe daje teraz równanie wariacyjne dla symetrycznej postaci dwuliniowej, która jest spełniona dla rozwiązaniaz.

\begin{aligned} (fa, v) = (- Δ u, v) & = (\nabla u, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} u v re s \\ = (\nabla u, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} u v re s - \int_{\partial Ω} (u - sol) \partial_{ν} v re s \end{aligned}

$\begin{aligned} (f ,v) = (-\Delta u,v)&=(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds \\ &= (\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} (u-g)\partial_\nu v\,ds \end{aligned}$

0 = u - g

$0=u-g$

u \in H^{1} (Ω)

$u\in H^1(\Omega)$

(1)

$(1)$

$u=v$ $c\|v\|_{H^1}^2$ $v\in H^1(\Omega)$ $L^2$ $\eta\int_{\partial\Omega} (u-g)v\,ds$ $\eta>0$ $u\in H^1(\Omega)$

(\nabla u, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} u v d s - \int_{\partial Ω} u \partial_{ν} v d s + η \int_{\partial Ω} u v d s = - \int_{\partial Ω} g \partial_{ν} v d s + η \int_{\partial Ω} g v d s + \int_{Ω} f v d x for all v \in H^{1} (Ω) .

$(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} u\partial_\nu v\,ds +\eta\int_{\partial\Omega} u v\,ds = -\int_{\partial\Omega} g\partial_\nu v\,ds + \eta\int_{\partial\Omega} g v\,ds + \int_\Omega f v\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1(\Omega).$

$u,v\in H^1(\Omega)$ $u_h,v_h\in V_h\subset H^1(\Omega)$ $\eta$ $ch^{-1}$ $c>0$

(To nie jest oryginalne pochodzenie Nitschego, które poprzedza nieciągłe metody Galerkina i zaczyna się od równoważnego problemu minimalizacji. W rzeczywistości jego oryginalna praca w ogóle nie wspomina o odpowiedniej formie dwuliniowej, ale można ją znaleźć np. We Freund i Stenberg, W sprawie słabo nałożonych warunków brzegowych dla problemów drugiego rzędu , Proceedings of the IX Int. Conf. Finite Elements in Fluids, Wenecja 1995. M. Morandi Cecchi i in., Eds. Str. 327-336 .)

Christian Clason
źródło

Twoje pierwsze zdanie nie jest błędne, ale historycznie niedokładne: pomysł Nitsche był pierwszy i zainspirował rozwój nieciągłych metod Galerkina. To powiedziawszy, nie odbiera to doskonałej odpowiedzi.

Wolfgang Bangerth,

@WolfgangBangerth Masz oczywiście rację; nie sugerowano związku przyczynowego, jedynie korelację. Ważne jest jednak, aby odpowiednio przypisać, zwłaszcza osobom, które w przeciwnym razie ulegają krótkiej zmianie. Będę edytować, aby to wyjaśnić.

Christian Clason,

Pytania: 1. Czy mógłbyś bardziej szczegółowo omówić kwestię przymusu przed dodaniem dodatkowego terminu granicznego? 2. Co oznacza tutaj „niezgodny”? 3. Myślałem, że przeczytałem, że stabilność jest automatycznym wynikiem przymusu postaci dwuliniowej ..? Chociaż to wyjaśnienie jest całkiem dobre (jedyne wyjaśnienie, jakie udało mi się w rzeczywistości znaleźć), czy ktoś może link do innego ogólnego wyjaśnienia metody (i / lub jej pochodnej) tylko dla porównania? Nawet gdybym mógł zlokalizować oryginalny papier, nie jestem pewien, czy to by pomogło. Artykuł Freunda i Stenberga zawiera jedynie krótkie streszczenie i kilka konkretnych

Nights

Niezgodność: dyskretna przestrzeń rozwiązania

V_{h}

$V_h$ nie jest podprzestrzenią przestrzeni rozwiązania ciągłego

H_{g}^{1} (Ω)

$H_g^1(\Omega)$ - ponieważ warunki brzegowe Dirichleta są egzekwowane tylko w słabym znaczeniu. Oto potencjalnie użyteczny link .

GoHokies,

@Nocy Zredagowałem odpowiedź, aby odnieść się do twoich punktów (z wyjątkiem tego, oczywiście, w drugim akapicie).

Christian Clason

Jaki jest ogólny pomysł metody Nitsche w analizie numerycznej?

Odpowiedzi: