Okresowe warunki brzegowe dla równania cieplnego w] 0,1 [

Rozważmy sprawne stan początkowy i równanie ciepła w jednym wymiarze: w otwartym przedziale ] 0 , 1 [ i załóżmy, że chcemy go rozwiązać numerycznie z różnic skończonych.

$$\partial_t u = \partial_{xx} u$$ $]0,1[$

Wiem, że aby mój problem został dobrze postawiony, muszę nadać mu warunki brzegowe przy i x = 1 . Wiem, że Dirichlet lub Neumann działają dobrze.$x=0$$x=1$

Jeśli mam w pierwszym przypadku punktów wewnętrznych x k = $N$ dlak=1,⋯,N, a następnie mamNnieznanych:uk=u(xk)dlak=1,⋯,N, ponieważujest określony na granicach.$x_k=\frac{k}{N+1}$$k=1,\cdots,N$$N$$u_k=u(x_k)$$k=1,\cdots,N$$u$

W drugim przypadku naprawdę mam niewiadomych u 0 , ⋯ , u N + 1 i wiem, jak używać (jednorodnego) Neumanna BC, aby zdyskretować laplaciana na granicy, na przykład przy połączeniu dwóch fikcyjnych punktów x - 1 oraz x N + 2 i równości:$N+2$$u_0,\cdots,u_{N+1}$$x_{-1}$$x_{N+2}$

$$\frac{u_1-u_{-1}}{2 h} = 0 = \frac{u_{N+2}-u_N}{2 h}$$

Moje pytanie dotyczy okresowego pne. Mam wrażenie, że mógłbym użyć jednego równania, mianowicie ale może dwa, a następnie użyłbym ∂ x u ( 0 ) = ∂ x u ( 1

$$u(0) = u(1)$$ $$\partial_x u(0) = \partial_x u(1)$$

ale nie jestem pewien. Nie wiem też, ile niewiadomych powinienem mieć. Czy to ?$N+1$

Najlepszym sposobem na to jest (jak powiedziałeś) po prostu użycie definicji okresowych warunków brzegowych i prawidłowe ustawienie równań od samego początku przy użyciu faktu, że . W rzeczywistości, nawet silniej, okresowe warunki brzegowe utożsamiają x = 0 z x = 1 . Z tego powodu powinieneś mieć tylko jeden z tych punktów w domenie rozwiązania. Przedział otwarty nie ma sensu, gdy stosuje się okresowe warunki brzegowe, ponieważ nie ma granicy .$u(0)=u(1)$$x=0$$x=1$

$x=1$$x=0$$N+1$$x_0$ $x_N$$x_N$ $x_0$

$$\frac{\partial}{\partial t} \left[\begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_N \end{array}\right] = \frac{1}{\Delta x^2} \left[\begin{array}{c} x_N - 2x_0 + x_1 \\ x_0 - 2x_1 + x_2 \\ \vdots \\ x_{N-1} - 2x_N + x_0 \end{array}\right]$$

$$\frac{\partial}{\partial t}\vec{x} = \frac{1}{\Delta x^2} \mathbf{A} \vec{x}$$ $$\mathbf{A} = \left[\begin{array}{c} -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ && \ddots & \ddots & \ddots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].$$

Oczywiście nie ma potrzeby tworzenia ani przechowywania tej matrycy. Skończone różnice należy obliczać w locie, zwracając uwagę na pierwsze i ostatnie punkty specjalnie w razie potrzeby.

$$\partial_t u = \partial_{xx}u + b(t,x)$$ $x\in[-1,1)$$u_\text{Ref}(t,x) = \exp(-t)\cos(5\pi x)$$b(t,x) = (25\pi^2-1)\exp(-t)\cos(5\pi x)$

clear

% Solve: u_t = u_xx + b
% with periodic boundary conditions

% analytical solution:
uRef = @(t,x) exp(-t)*cos(5*pi*x);
b = @(t,x) (25*pi^2-1)*exp(-t)*cos(5*pi*x);

% grid
N = 30;
x(:,1) = linspace(-1,1,N+1);

% leave off 1 point so initial condition is periodic
% (doesn't have a duplicate point)
x(end) = [];
uWithMatrix = uRef(0,x);
uNoMatrix = uRef(0,x);

dx = diff(x(1:2));
dt = dx.^2/2;

%Iteration matrix:
e = ones(N,1);
A = spdiags([e -2*e e], -1:1, N, N);
A(N,1) = 1;
A(1,N) = 1;
A = A/dx^2;

%indices (left, center, right) for second order centered difference
iLeft = [numel(x), 1:numel(x)-1]';
iCenter = (1:numel(x))';
iRight = [2:numel(x), 1]';

%plot
figure(1)
clf
hold on
h0=plot(x,uRef(0,x),'k--','linewidth',2);
h1=plot(x,uWithMatrix);
h2=plot(x,uNoMatrix,'o');
ylim([-1.2, 1.2])
legend('Analytical solution','Matrix solution','Matrix-free solution')
ht = title(sprintf('Time t = %0.2f',0));
xlabel('x')
ylabel('u')
drawnow

for t = 0:dt:1
    uWithMatrix = uWithMatrix + dt*( A*uWithMatrix + b(t,x) );
    uNoMatrix = uNoMatrix + dt*(  ( uNoMatrix(iLeft) ...
                                - 2*uNoMatrix(iCenter) ...
                                  + uNoMatrix(iRight) )/dx^2 ...
                                + b(t,x) );
    set(h0,'ydata',uRef(t,x))
    set(h1,'ydata',uWithMatrix)
    set(h2,'ydata',uNoMatrix)
    set(ht,'String',sprintf('Time t = %0.2f',t))
    drawnow
end

Zgodnie z tym należy nałożyć okresowe warunki brzegowe, ponieważ:

$$\begin{equation} u(0, t) = u(1, t) \\ u_x(0, t) = u_x(1, t) \end{equation}$$

Jednym ze sposobów dyskretyzacji równania ciepła w sposób dorozumiany przy użyciu wstecznego Eulera jest

$$\begin{equation} \frac{u^{n+1}-u_{n}}{\Delta t}= \frac{u^{n+1}_{i+1}-2u^{n+1}_{i}+u^{n+1}_{i+1}}{\Delta x^2} \end{equation}$$

Rozwiązywanie układu równań

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} I-\frac{\Delta t}{\Delta x^2}A \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^{n+1}_1 \\ u^{n+1}_1 \\ \vdots \\ \\ \\ u^{n+1}_{N} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u^n_1 \\ u^n_2 \\ \vdots \\ \\ \\ u^n_{N} \end{bmatrix} \end{equation}$$

$$\begin{equation} A= \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 &\ldots & 0 \\ 0 & 1 & -2& 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1& -2 & 1 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 & -2 & \ldots & 0 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \ddots &\ddots &\vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots &0 &1 &-2 \end{bmatrix} \end{equation}$$

$u_{0}$$u_{N+1}$

$$\begin{equation} u_1 - u_{N} = 0 \\ \frac{u_{2}-u_{0}}{2 \Delta x} - \frac{u_{N+1}-u_{N-1}}{2 \Delta x} = 0 \end{equation}$$

$u_x$

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 1 & 0 & -1 \\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & I-\frac{\Delta t}{\Delta x^2}A & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^{n+1}_{0}\\ u^{n+1}_1 \\ u^{n+1}_2 \\ \\ \\ \\ \\ u^{n+1}_{N} \\ u^{n+1}_{N+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ u^n_1 \\ u^n_2 \\ \\ \\ \\ \\ u^n_{N} \end{bmatrix} \end{equation}$$

Co daje N + 2 równań i N + 2 nieznanych.

Możesz także pozbyć się pierwszych równań i komórek duchów i dojść do układu N równań i N nieznanych.