Weryfikacja problemów z wartością własną

Zacznijmy od problemu formy

(L + k^{2}) u = 0

$(\mathcal{L} + k^2) u=0$

z zestawem danych warunków brzegowych ( Dirichlet , Neumann , Robin , Periodic , Bloch-Periodic ). Odpowiada to znalezieniu wartości własnych i wektorów własnych dla pewnego operatora , w pewnej geometrii i warunkach brzegowych. Problem taki można uzyskać np. W akustyce, elektromagnetyzmie, elastodynamice, mechanice kwantowej. $\mathcal{L}$

Wiem, że operator może dyskretyzować, stosując różne metody, np. Metody różnic skończonych

[A] {U} = k^{2} {U}

$[A]\{U\} = k^2 \{U\}$

lub stosując metody elementów skończonych w celu uzyskania

[K] {U} = k^{2} [M] {U} .

$[K]\{U\} = k^2 [M]\{U\} \enspace .$

W jednym przypadku wystąpił problem z wartością własną, a uogólniony problem z wartością własną w drugim. Po uzyskaniu dyskretnej wersji problemu używa się solvera dla problemu wartości własnej.

Kilka myśli

Metoda wytworzonych rozwiązań nie jest przydatna w tym przypadku, ponieważ nie ma źródła określającego równanie.
$[K]$ $[M]$

$[\nabla^{2} + ω^{2} / c^{2}] u (ω) = f (ω), \forall ω \in [ω_{min}, ω_{max}]$ $[\nabla^2 + \omega^2/c^2] u(\omega) = f(\omega) \enspace ,\quad \forall \omega \in [\omega_\min, \omega_\max]$
zamiast

$[\nabla^{2} + k^{2}] u = 0 .$ $[\nabla^2 + k^2] u = 0 \enspace .$
Ale to nie sprawdzi problemów solvera.
Być może można porównać rozwiązania dla różnych metod, takich jak FEM i FDM.

Pytanie

Jaki jest sposób weryfikacji rozwiązań (pary własne-wektor własny) dla schematów dyskretyzacji ze względu na metody numeryczne takie jak FEM i FDM dla problemów z wartością własną?

pde finite-element eigensystem verification nicoguaro
źródło

Czy możesz porównać swoje wyniki z widmami dla znanych przypadków (kwadrat, sześcian, okrąg, kula)? Oczekuje się również współczynników konwergencji dla wektorów własnych i wartości własnych w odpowiednich normach, które można sprawdzić (chociaż te współczynniki różnią się w zależności od częstotliwości - patrz journals.cambridge.org/action/… )

Jesse Chan

Tak, możesz porównać z rozwiązaniami analitycznymi. Ale zwykle są one dostarczane w naprawdę prostych przypadkach. Pytanie dotyczy tego, jak przeprowadzić proces weryfikacji. Jeśli istnieje coś podobnego do metody produkowanych rozwiązań. Lub jeśli powinieneś połączyć tę metodę z innymi problemami z rozwiązaniami analitycznymi.

nicoguaro

k, v

$k,v$

(L + k^{2}) v = w \neq 0

$(\mathcal{L}+k^2)v = w \neq0$

w = f v + g v^{'}

$w = fv+gv'$

f, g

$f,g$

L^{'} = L - f - g \partial

$\mathcal{L}'=\mathcal{L}-f-g\partial$

L

$\mathcal{L}$

v

$v$

v^{'}

$v'$ powinien być liniowo niezależny i nie może zniknąć w tym samym momencie.

Kirill,

@JesseChan, dziękuję za sugerowaną lekturę. Zajęło mi to trochę czasu, ale to przeczytałem. Nie sądzę, że dostarczają wystarczających informacji do pożądanego celu.

nicoguaro

Chcę mieć pewność, że dobrze cię zrozumiałem. Czy chcesz wiedzieć, jak oszacować odległość między obliczonymi parami własnymi dla operatora dyskretnego (macierz lub macierze) a odpowiednią parą własną dla operatora gładkiego? A może chcesz teraz oszacować dokładność rozwiązania dyskretnego problemu z wartością własną?

Carl Christian,

Odpowiedzi:

Zdaję sobie sprawę, że to pytanie jest stare, ale właśnie je zobaczyłem i uważam za interesujące. W przeszłości postępowałem zgodnie z sugestiami zawartymi w komentarzach do tego pytania, w połączeniu z nieco bardziej skomplikowanymi przypadkami, które znam w literaturze (Orr - Sommerfeld jest zawsze przydatny).

Jednak znam też literaturę na temat niejednorodnych problemów z wartością własną, które powstają podczas konstruowania wytworzonego rozwiązania. Dyskutuje się tutaj o takich problemach: DOI: 10.1016 . Autorzy ci sugerują również tak zwaną Metodę Wytworzonych Przekrojów (MXS, jak sądzę), aby całkowicie uniknąć tego problemu, którego nie będę w tej chwili rozumieć, ale może być bardzo przydatny.

Spencer Bryngelson
źródło

To, co proponują jako „niejednorodny problem wartości własnych”, jest podejściem zaproponowanym w moim oryginalnym poście. Nadal jednak próbuję zrozumieć Metodę wytworzonych przekrojów.

nicoguaro

Zdaję sobie sprawę z tego, sugerując po prostu, że istnieje pewna literatura dotycząca takich problemów, więc może nie być to ślepy zaułek, jak zasugerowałeś: „Wytworzone rozwiązania nie są przydatne w tym przypadku, ponieważ nie istnieje termin źródłowy, który równoważyłby równanie”.

Spencer Bryngelson

To nie jest krytyka twojego postu. Wręcz przeciwnie! Właśnie komentuję to, co znalazłem po przeczytaniu odniesienia, aby promować dyskusję.

nicoguaro

Dla pochodnej drugiego rzędu (i Laplaciana na prostych domenach) dostępne są wyrażenia dla dyskretnych par własnych (tj. Po dyskretyzacji). Na przykład dla różnic skończonych pary własne są tutaj wymienione .

Wyrażenie dla par własnych z dyskretyzacją elementów skończonych można znaleźć podobnie (dla dyskretyzacji P1 i P2).

user7440
źródło