obserwacje punktowe vs. ciągłe w odwrotnym problemie PDE

Pracuję nad odwrotnym problemem dla mojego doktoratu. badania, które dla uproszczenia powiemy, określają w$\beta$

$L(\beta)u \equiv -\nabla\cdot(k_0e^\beta\nabla u) = f$

od kilku obserwacji ; k 0 jest stałą i F są znane. Zwykle jest to formułowane jako problem optymalizacji ekstremizacji$u^o$$k_0$$f$

$J[u, \lambda; \beta] = \frac{1}{2}\int_\Omega(u(x) - u^o(x))^2dx + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

gdzie to mnożnik Lagrange'a. Funkcjonalną pochodną J w odniesieniu do β można obliczyć, rozwiązując równanie przyległe$\lambda$$J$$\beta$

$L(\beta)\lambda = u - u^o.$

Niektóre normalizujące funkcjonalne są dodawane do problemu ze zwykłych powodów.$R[\beta]$

Niewypowiedziane założeniem jest to, że na podstawie danych zebranych definiuje się w sposób ciągły w obszarze Ohm . Myślę, że bardziej odpowiednie może być użycie mojego problemu$u^o$$\Omega$

$J[u, \lambda; \beta] = \sum_{n = 1}^N\frac{(u(x_n) - u^o(x_n))^2}{2\sigma_n^2} + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

$x_n$$\sigma_n$$n$

Daje mi to przerwę, ponieważ staje się równanie przyległe

$L(\beta)\lambda = \sum_{n = 1}^N\frac{u(x_n) - u^o(x_n)}{\sigma_n^2}\delta(x - x_n)$

$\delta$

Nie mogę znaleźć w literaturze porównań zakładających ciągłe lub punktowe pomiary odwrotnych problemów w odniesieniu do konkretnego problemu, nad którym pracuję, lub ogólnie. Często stosuje się pomiary punktowe bez wzmianki o początkowych problemach z regularnością, np . Tutaj . Czy jest opublikowana praca porównująca założenia pomiarów ciągłych z punktowymi? Czy powinienem martwić się funkcjami delta w przypadku punktowym?

Pomiary tego pola są często nierówne i brakuje fragmentów; po co interpolować, aby uzyskać ciągłe pole wątpliwej wierności, jeśli można tego uniknąć?

Masz całkowitą rację - przez większość czasu interpolacja do ciągłego pola obejmującego całą domenę nie jest opcją. Pomyśl o problemach z prognozowaniem pogody, gdy pomiary (źródła punktowe) są dostępne tylko w wybranych lokalizacjach domen. Powiedziałbym, że dane punktowe są bardziej normą niż wyjątkiem, gdy weźmie się pod uwagę „rzeczywiste” odwrotne problemy.

Domyślam się, że funkcjonalność celu powinna być zdefiniowana w kategoriach przybliżenia elementu skończonego do wszystkich pól ( dyskretyzuj, a następnie optymalizuj ), a nie w kategoriach pól rzeczywistych, a następnie dyskretyzowana po ( optymalizacja, a następnie dyskretyzacja ).

Te dwa podejścia nie są równoważne (z wyjątkiem bardzo prostych problemów). Istnieje obszerna literatura porównująca dwa podejścia (każde z jego zaletami i wadami). Wskażę ci monografię Maxa Gunzburgera (w szczególności koniec rozdziału 2).

Czy jest opublikowana praca porównująca założenia pomiarów ciągłych z punktowymi? Czy powinienem martwić się funkcjami delta w przypadku punktowym?

Możesz dokładnie przedstawić terminy źródłowe - mianowicie termin źródłowy zostanie zamodelowany jako (dyskretne przybliżenie do) rozkładu Diraca [ Arraya i in., 2006 ], lub możesz zbliżyć termin źródłowy za pomocą funkcji regularyzowanej (tak jak to zostało zrobione , na przykład w metodzie zanurzenia na granicy ). Spójrz (na początek) na ten najnowszy artykuł Hosseini i in. (i odnośniki tam zawarte).

Aby rozwinąć odpowiedź @ GoHokies: Jeśli interesują Cię pytania dotyczące regularności, możesz również zapytać, czym tak naprawdę są „pomiary punktowe”. W praktyce fizycznej nie można niczego mierzyć w „punkcie”. Raczej zawsze otrzymujesz jakąś średnią dla pewnego rodzaju czasoprzestrzennego fragmentu: termometr nie jest punktem, lecz przedłużonym przedmiotem i dostosowanie się do temperatury otaczającego go medium wymaga czasu. urządzenie do pomiaru stężenia wymaga skończonej wielkości próbki; itp.

Matematycznie oznacza to, że funkcje delta w twojej funkcji są naprawdę średnimi z wystarczająco małych obszarów i / lub przedziałów czasowych. W związku z tym prawa strona w równaniu podwójnym jest również skończona i nie występują problemy z regularnością.

Oczywiście w praktyce zazwyczaj nie będziesz w stanie rozwiązać małej przestrzeni lub przedziałów czasowych, w których mierzysz za pomocą siatki elementów skończonych. Oznacza to, że na skale długości można rozwiązać, prawa strona ma wygląd pojedynczej, a co za tym idzie więc nie rozwiązanie. Ale ponieważ już wprowadzasz błąd dyskretyzacji, możesz także regulować charakterystyczną funkcję objętości, na której mierzysz dyskretne przybliżenie o tej samej wadze; jeśli zrobisz to dobrze, wprowadzisz błąd, który nie jest większy niż błąd dyskretyzacji, z korzyścią dla otrzymania doskonale ładnej funkcji po prawej stronie dla (dyskretnego) podwójnego równania.