Jakie są różnice między szacunkiem błędu „a priori” i „posteriori” w analizie numerycznej?

Nauczyłem się o Metodzie Elementów Skończonych (także trochę o innych metodach numerycznych), ale nie wiem, jaka jest dokładnie definicja tych dwóch błędów i różnic między nimi?

finite-element numerical-analysis error-estimation Anh-Thi DINH
źródło

Oszacowania a priori (z łaciny „z wcześniejszych”) zależą tylko od dokładnego, ale nie obliczonego przybliżonego rozwiązania, i dlatego można je (teoretycznie, jeśli nie w praktyce) ocenić przed obliczeniem rozwiązania. I odwrotnie, szacunki a posteriori (z łaciny „z późniejszych”) zależą od obliczonego rozwiązania, ale nie od dokładnego rozwiązania, więc wymagają obliczenia rozwiązania, ale w rzeczywistości można je ocenić.

Christian Clason

@ChristianClason - zrób to odpowiedź!

Wolfgang Bangerth

‖ u - u_{h} ‖ \leq do (h),

$\|u - u_h\| \leq C(h),$

u

$u$

u_{h}

$u_h$

h

$h$

C (h)

$C(h)$

h

$h$

u

$u$

u_{h}

$u_h$

h

$h$

α

$\alpha$

h

$h$ ) lub iteracyjne metody rozwiązywania równań lub problemów optymalizacyjnych (ze wskaźnikiem iteracji

k

$k$ - lub raczej

1 / k

$1/k$ - zamiast

h

$h$ ). Celem takiego oszacowania jest udzielenie odpowiedzi na pytanie „Jeśli chcę dostać się do, powiedzmy, $10^{-3}$ dokładnego rozwiązania, jak mały muszę wybrać $h$ ?”

Różnica między szacunkami a priori i oszacowaniami tylnymi ma postać prawej strony $C(h)$ :

W szacunkach a priori prawa strona zależy od (zwykle wyraźnie) , ale nie od . Na przykład typowe oszacowanie a priori dla aproksymacji elementu skończonego równania Poissona miałoby postać ze stałą zależną od geometrii domeny i siatki. Zasadniczo prawą stronę można ocenić przed obliczeniem (stąd nazwa), więc będziesz mógł wybrać przed rozwiązaniem czegokolwiek. W praktyce ani ani jest znany ( $h$ $u$ $u_h$ $-\Delta u = f$
$‖ u - u_{h} ‖_{{L.}^{2)}} \leq do h^{2)} | u |_{{H.}^{2)}},$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h^2 |u|_{H^2},$ $c$ $u_h$ $h$ $c$ $|u|_{H^2}$ $u$ jest tym, czego szukasz), ale czasami możesz uzyskać oszacowania rzędu lub wielkości dla , ostrożnie przeglądając dowody i dlaprzy użyciu danych (które są znane). Głównym zastosowaniem jest oszacowanie jakościowe - mówi ci, że jeśli chcesz zmniejszyć błąd czterokrotnie, musisz zmniejszyć o połowę . $c$ $|u|$ $f$ $h$
W a posteriori szacunków, po prawej stronie zależy od i , ale nie . Prostym opartym na resztkach oszacowaniem późniejszym dla równania Poissona byłby który mógłby teorię należy ocenić po obliczeniu . W praktyce norma jest problematyczna do obliczenia, więc należy dalej manipulować prawą stroną, aby uzyskać powiązanie elementarne $h$ $u_h$ $u$
$‖ u - u_{h} ‖_{{L.}^{2)}} \leq do h ‖ fa + Δ u_{h} ‖_{{H.}^{- 1}},$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h \|f+\Delta u_h\|_{H^{-1}},$ $u_h$ $H^{-1}$ $‖ u - u_{h} ‖_{{L.}^{2)}} \leq do (\sum_{K.} h_{K.}^{2)} ‖ fa + Δ u_{h} ‖_{{L.}^{2)} (K.)} + \sum_{fa} h_{K.}^{3) / 2)} ‖ jot (\nabla u_{h}) ‖_{{L.}^{2)} (fa)}),$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c \left(\sum_{K} h_K^2 \|f+\Delta u_h\|_{L^2(K)} + \sum_{F} h_K^{3/2} \|j(\nabla u_h)\|_{L^2(F)}\right),$ gdzie pierwsza suma nad elementami z triangulacją jest wielkości , drugie suma przekracza granice wszystkich elementów i oznacza skok normalnego pochodnej całej . Jest to teraz w pełni obliczalne po uzyskaniu , z wyjątkiem stałej . Zatem znowu użycie jest głównie jakościowe - mówi ci, które elementy dają większy wkład błędu niż inne, więc zamiast równomiernie redukować , po prostu wybierasz niektóre elementy z dużym udziałem błędów i zmniejszasz je, dzieląc je. To jest podstawa $K$ $h_K$ $K$ $F$ $j(\nabla u_h)$ $u_h$ $F$ $u_h$ $c$ $h$ adaptacyjne metody elementów skończonych .

Christian Clason
źródło

Ta odpowiedź jest dokładnie tym, czego potrzebuję, dzięki bardzo.

Anh-Thi DINH

Jakie są różnice między szacunkiem błędu „a priori” i „posteriori” w analizie numerycznej?

Odpowiedzi: