Jakie są różnice między szacunkiem błędu „a priori” i „posteriori” w analizie numerycznej?

16

Nauczyłem się o Metodzie Elementów Skończonych (także trochę o innych metodach numerycznych), ale nie wiem, jaka jest dokładnie definicja tych dwóch błędów i różnic między nimi?

Anh-Thi DINH
źródło
5
Oszacowania a priori (z łaciny „z wcześniejszych”) zależą tylko od dokładnego, ale nie obliczonego przybliżonego rozwiązania, i dlatego można je (teoretycznie, jeśli nie w praktyce) ocenić przed obliczeniem rozwiązania. I odwrotnie, szacunki a posteriori (z łaciny „z późniejszych”) zależą od obliczonego rozwiązania, ale nie od dokładnego rozwiązania, więc wymagają obliczenia rozwiązania, ale w rzeczywistości można je ocenić.
Christian Clason
1
@ChristianClason - zrób to odpowiedź!
Wolfgang Bangerth

Odpowiedzi:

24

U U H H C ( H ) H U U H H α h

u-uhdo(h),
uuhhdo(h)huuhhαh) lub iteracyjne metody rozwiązywania równań lub problemów optymalizacyjnych (ze wskaźnikiem iteracji k - lub raczej 1/k - zamiast h ). Celem takiego oszacowania jest udzielenie odpowiedzi na pytanie „Jeśli chcę dostać się do, powiedzmy, 10-3) dokładnego rozwiązania, jak mały muszę wybrać h ?”

Różnica między szacunkami a priori i oszacowaniami tylnymi ma postać prawej strony do(h) :

  • W szacunkach a priori prawa strona zależy od (zwykle wyraźnie) , ale nie od . Na przykład typowe oszacowanie a priori dla aproksymacji elementu skończonego równania Poissona miałoby postać ze stałą zależną od geometrii domeny i siatki. Zasadniczo prawą stronę można ocenić przed obliczeniem (stąd nazwa), więc będziesz mógł wybrać przed rozwiązaniem czegokolwiek. W praktyce ani ani jest znany (u u h - Δ u = f u - u h L 2c h 2 | u | H 2 , c u h h c | u | H 2 uhuuh-Δu=fa

    u-uhL.2)doh2)|u|H.2),
    douhhdo|u|H.2)ujest tym, czego szukasz), ale czasami możesz uzyskać oszacowania rzędu lub wielkości dla , ostrożnie przeglądając dowody i dlaprzy użyciu danych (które są znane). Głównym zastosowaniem jest oszacowanie jakościowe - mówi ci, że jeśli chcesz zmniejszyć błąd czterokrotnie, musisz zmniejszyć o połowę .| u | f hdo|u|fah
  • W a posteriori szacunków, po prawej stronie zależy od i , ale nie . Prostym opartym na resztkach oszacowaniem późniejszym dla równania Poissona byłby który mógłby teorię należy ocenić po obliczeniu . W praktyce norma jest problematyczna do obliczenia, więc należy dalej manipulować prawą stroną, aby uzyskać powiązanie elementarneU H Uhuhu

    u-uhL.2)dohfa+ΔuhH.-1,
    uhH.-1
    u-uhL.2)do(K.hK.2)fa+ΔuhL.2)(K.)+fahK.3)/2)jot(uh)L.2)(fa)),
    gdzie pierwsza suma nad elementami z triangulacją jest wielkości , drugie suma przekracza granice wszystkich elementów i oznacza skok normalnego pochodnej całej . Jest to teraz w pełni obliczalne po uzyskaniu , z wyjątkiem stałej . Zatem znowu użycie jest głównie jakościowe - mówi ci, które elementy dają większy wkład błędu niż inne, więc zamiast równomiernie redukować , po prostu wybierasz niektóre elementy z dużym udziałem błędów i zmniejszasz je, dzieląc je. To jest podstawaK.hK.K.fajot(uh)uhfauhdohadaptacyjne metody elementów skończonych .
Christian Clason
źródło
Ta odpowiedź jest dokładnie tym, czego potrzebuję, dzięki bardzo.
Anh-Thi DINH