Co analiza statyczności von Neumanna mówi nam o nieliniowych równaniach różnic skończonych?

Czytam artykuł [1], w którym rozwiązują następujące równanie nieliniowe przy użyciu metod różnic skończonych. Analizują także stabilność schematów za pomocą analizy stabilności von Neumanna. Jednak, jak zdają sobie sprawę autorzy, dotyczy to tylko liniowych PDE. Autorzy więc to poprzez „zamrożenie” nieliniowego terminu, tzn. termin , gdzie „uważa się za reprezentujące lokalnie stałe wartości ”.

Więc moje pytanie jest dwojakie:

1: jak interpretować tę metodę i dlaczego (nie) działa?

2: czy moglibyśmy również zastąpić termin terminem , gdzie jest „uważany za reprezentujący lokalnie stałe wartości ”?$uu_x$$uU_x$$U_x$$u_x$

Bibliografia

1. Eilbeck, JC i GR McGuire. „Studium numeryczne znormalizowanego równania długofalowego I: metody numeryczne”. Journal of Computational Physics 19.1 (1975): 43-57.

To, co mówisz, nazywa się linearyzacją. Jest to powszechna technika stosowana w analizie nieliniowych PDE. Wykonane jest rzutowanie równań w formacie,

$u_t+Au=0$

Tutaj A jest macierzą wynikającą z linearyzacji równania.

Teraz do twoich pytań,

1. Jak myślisz, działa do pewnego stopnia, ale do pewnego stopnia nie. Użyteczność polega na tym, że stabilność można udowodnić w przypadku systemów liniowych, ale niełatwo w przypadku systemów nieliniowych. Zatem wyniki liniowe są rozszerzone na układy nieliniowe. Często w poszczególnych przypadkach przyjmuje się różne metody. Na przykład,

$uu_x = \frac{1}{2}(u^2)_x$

która jest formą ochrony. Więc,

$u_t+\frac{1}{2}(u^2)_x = 0$

gdy jest reprezentowany w sensie skończonej objętości, ogranicza ograniczenia ewolucji u.

2. Jaka jest użyteczność wymiany. Usuniesz równanie z postaci równania falowego. Co oznaczałoby, że rozwiązania nie zachowywałyby się jak równanie falowe. Zatem w analizie stabilności rozwiązania testowe musiałyby być zupełnie inne i niefizyczne.

Aby rozwinąć argument dotyczący linearyzacji, w uu_x chcesz założyć, że u jest lokalnie stały, a nie u_x, z dwóch powodów: a) u zmienia się wolniej niż jego pochodna, i b) w tym konkretnym przypadku, jeśli założymy, że u_x jest lokalnie stały , z definicji zakładasz także, że u Ciebie jest lokalnie liniowy, co oznacza, że ​​pochodne wyższych przestrzeni są zerowe, co nie tylko wprowadza dodatkowy błąd aproksymacji, ale może oznaczać, że możesz wylewać dziecko z kąpielą, w zależności od twojego równania.