Załóżmy, że miałem następujący okresowy problem z poradą 1D:
w
gdzie ma nieciągłość skoku przy .
Rozumiem, że w przypadku schematów liniowych różnic skończonych wyższego niż pierwszego rzędu, fałszywe oscylacje występują w pobliżu nieciągłości, jak jest to zalecane w czasie, powodując zniekształcenie rozwiązania od oczekiwanego kształtu fali. Zgodnie z wyjaśnieniem wikipedii wydaje się, że oscylacje te zwykle występują, gdy funkcja nieciągłości jest aproksymowana skończoną serią Fouriera.
Z jakiegoś powodu nie mogę pojąć, w jaki sposób można zaobserwować skończoną serię Fouriera w rozwiązaniu tego PDE. W szczególności, w jaki sposób mogę analitycznie oszacować granicę „przeregulowania”?
źródło
Dyskretyzacja liniowej różnicy skończonej problemu 1D z okresowymi granicami prowadzi do dyskretyzacji postaci
gdzieL jest matrycą krążącą . Wektory własne dowolnej macierzy krążącej są dyskretnymi modami Fouriera
Możesz znaleźć ładne wyjaśnienia, na przykład w tekście Strikwerda lub LeVeque .
źródło
Nie wszystkie fałszywe oscylacje są zjawiskami Gibbsa. Wyglądają podobnie, ale istnieją oscylacje Gibbsa dla wszystkich skończonych przybliżeń Fouriera funkcji nieciągłych (stają się one mniejsze, gdy dodajesz więcej terminów). Natomiast istnieją nieoscylacyjne reprezentacje funkcji nieciągłych wynikające z rozwiązania aproksymacji różnic skończonych do PDE, które nie wymagają szeregów nieskończonych.
Kąpiel ( Inf-sup test metod podmuchu wiatru , PDF) zawiera artykuł na temat metod elementów skończonych (konwekcja-dyfuzja, IIRC) w 1-D, który obejmuje obliczenie stałej dlainf -łyk warunek i związany z tym oscylacje. Możesz uzyskać wgląd w to.
źródło
Jeśli chodzi o twoje ostatnie pytanie dotyczące związku między skończoną serią Fouriera i aproksymacją elementu skończonego: Ogólnie rzecz biorąc, jeśli spróbujesz rzutować funkcję skokiem na skończoną przestrzeń wymiarową, której funkcje podstawowe są ciągłe, otrzymasz zjawisko Gibbsa. Jest to prawdą, jeśli podstawą jest skończona seria Fouriera (gdzie funkcjami podstawowymi są sinus i cosinus) lub jeśli podstawą są zwykłe funkcje kapelusza elementu skończonego - jest to właściwość projekcji plus nieprzydatność funkcji bazowych.
źródło
Jednym podejściem jest równanie równoważne, to znaczy równanie różniczkowe, do którego metoda dyskretna daje najbliższe przybliżenie. To nigdy nie jest równanie różniczkowe, które zamierzałeś rozwiązać. Następnie przyjrzyj się asymptotycznemu rozwiązaniu równania równoważnego, dla funkcji kroku jako danych początkowych. Spójrz na Bouche, D., Bonnaud, G. i Ramos, D., 2003. Porównanie schematów numerycznych rozwiązywania równania doradczego. Stosowane litery matematyczne, 16 (2), s. 147–154.
źródło