Metoda Newtona rozwiązywania równań nieliniowych jest znana, że zbiega się kwadratowo, gdy domysły początkowe są „wystarczająco blisko” do rozwiązania.
Co jest „wystarczająco blisko”?
Czy istnieje literatura na temat struktury tego basenu przyciągania?
iterative-method
convergence
nonlinear-equations
David Ketcheson
źródło
źródło
Odpowiedzi:
W przypadku pojedynczego racjonalnego równania w dziedzinie złożonej, basenem przyciągania jest fraktal, uzupełnienie tak zwanego zbioru Julii. http://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set . Teorię z kilkoma ładnymi liczbami online można znaleźć np.
Http://mathlab.mathlab.sunysb.edu/~scott/Papers/Newton/Published.pdf
http://hera.ugr.es/doi/15019160.pdf
Nawet „zglobalizowana” tłumiona metoda Newtona dla ma fraktalny basen przyciągania; patrz http://www.jstor.org/stable/10.2307/2653002 .x3)- 1 = 0
Dlatego nie ma sensu szczegółowo określać, co jest „wystarczająco blisko” do rozwiązania. Jeśli znamy granice drugich pochodnych, istnieje twierdzenie Newtona - Kantorowicza, które podaje dolne granice promienia kuli, w której zbiega się metoda Newtona, ale z wyjątkiem 1D są one dość pesymistyczne.
Przydatne obliczeniowo granice można uzyskać za pomocą arytmetyki przedziałowej; patrz np. mój artykuł
Shen Zuhe i A. Neumaier, operator Krawczyka i twierdzenie Kantorovicha, J. Math. Analny. Appl. 149 (1990), 437–443.
http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/61.pdf
źródło
„Wystarczająco blisko” jest trudne do scharakteryzowania, biorąc pod uwagę, że daje początek klasie fraktali . Metody Newtona ze strategiami globalizacji, takimi jak wyszukiwanie linii i region zaufania, rozszerzają basen przyciągania. Jeśli dostępna jest dodatkowa struktura problemu, np. W zakresie optymalizacji, założenia konieczne do konwergencji mogą zostać jeszcze bardziej osłabione.
źródło
Istnieje kilka użytecznych wyników dla metody Newtona zastosowanej do złożonych wielomianów.
Joel Friedman w On Convergence of Newton's Method (Theorem 2.2) podaje wyraźny promień dysku zawartego w bezpośrednim basenie przyciągania każdego z pierwiastków wielomianu : gdzie jest minimalna odległość między dwoma pierwiastkami i to stopień .r = ηf ηfdf
Inne wyraźne granice zostały podane przez Anthony'ego Manninga w Jak się upewnić, że znajdujemy pierwiastek złożonego wielomianu za pomocą metody Newtona (Twierdzenie 1.2).
Zobacz także Jak znaleźć wszystkie pierwiastki złożonych wielomianów metodą Newtona autorstwa Hubbarda i in.
Wymyślać. Matematyka 146 (2001), no. 1, 1–33. pdf
źródło