Przykład funkcji ciągłej, którą trudno jest aproksymować za pomocą wielomianów

Do celów dydaktycznych potrzebowałbym ciągłej funkcji pojedynczej zmiennej, która jest „trudna” do przybliżenia wielomianami, tj. Potrzebna byłaby bardzo duża moc w szeregu mocy, aby „dobrze” dopasować tę funkcję. Zamierzam pokazać moim uczniom „ograniczenia” tego, co można osiągnąć za pomocą serii mocy.

Myślałem o wymyśleniu czegoś „hałaśliwego”, ale zamiast toczenia własnego zastanawiam się tylko, czy istnieje rodzaj standardowej „trudnej funkcji”, z której ludzie korzystają do testowania algorytmów aproksymacji / interpolacji, podobnie jak te funkcje testowe optymalizacji, które mają wiele lokalne minima, w których naiwne algorytmy łatwo utkną.

Przepraszamy, jeśli to pytanie nie jest dobrze sformułowane; proszę, zmiłuj się nad nie-matematykiem.

Dlaczego po prostu nie pokazać funkcji wartości bezwzględnej?

Zbliżenie z np. Ekspansją wielomianów Legendre'a działa, ale całkiem źle :

Ekspansja Taylora jest tu oczywiście całkowicie bezużyteczna, zawsze dając tylko funkcję liniową, zawsze malejącą lub zawsze rosnącą (w zależności od tego, czy punkt wokół którego się rozwijasz, jest ujemny czy dodatni).

Jest to przypadek patologiczny, ale zawsze możesz skorzystać z funkcji potwora Weierstrass . Ilustruje to szerszy punkt, a mianowicie to, że funkcje, które nie są gładkie - np. Mają załamanie - są trudne do przybliżenia, ponieważ szacunki błędu interpolacji wymagają interpolacji funkcji kilka razy. Innymi słowy, jeśli nie podoba ci się zbytnio funkcja Weierstrass, zawsze możesz po prostu wybrać.$|x|$

Przybliżenie jest utrudnione nie tylko przez przybliżoną funkcję, ale także przez przedział czasu, w którym przybliżenie powinno być „dobrym dopasowaniem”. I powinieneś zdefiniować miarę „dobrego dopasowania”, tj. Jaki jest maksymalny błąd (absolutny lub względny), który chcesz tolerować?

$\exp(x)$$[0,10]$$\sin(x)$$[0,2\pi]$

Wielomiany są zaskakująco skuteczne w aproksymacji funkcji [1]. Jeśli masz przynajmniej ciągłość Lipschitza, przybliżenia Czebyszewa zbiegną się. Oczywiście konwergencja może być powolna i to jest cena, którą płacimy za radzenie sobie z funkcją nieładną.

Obecnie komputery są znacznie szybsze niż dni, w których napisano wiele książek do analizy numerycznej, a sprytne algorytmy jeszcze bardziej zwiększyły szybkość, dlatego użycie większej liczby terminów może nie być tak złe, jak kiedyś.

Patologiczne przykłady, takie jak funkcja potwora Weierstrass, są interesujące z teoretycznego punktu widzenia, ale nie są reprezentatywne dla większości rzeczywistych kontekstów aplikacji.

$|x|$$x=0$

Ważne jest nauczenie trudności w przybliżeniu wielomianów, ale ważne jest również, aby powiedzieć uczniom, że możemy budować szacunki błędów i algorytmy adaptacyjne, które mogą poradzić sobie z tymi problemami.

[1] https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/mythspaper.pdf

[2] http://www.chebfun.org

$f(x) = \frac{1}{x^2+1}$

$\frac{1}{x^2+1} = 1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^{10}+x^{12} - \ldots$

$-1<x<1$$x=0$$x=2$

$y = sin(x)$