Schemat różnic skończonych dla „równania falowego”, metoda charakterystyczna

Rozważ następujący problem

W_{u v} = F

$W_{uv} = F$ którym warunek wymuszający może zależeć od ( formuła znajduje się poniżej w Edycji 1 ) oraz i jego pierwszych pochodnych. Jest to równanie fali wymiarowej 1 + 1. Mamy wstępne dane określone w .

u, v

$u,v$

W

$W$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

Interesuje mnie rozwiązanie w dziedzinie zależności przedziału i rozważam następujący schemat różnic skończonych.

{u + v = 0, u \in [- u_{M}, u_{M}]}

$\{ u+v = 0, u \in [- u_M,u_M]\}$

Celem jest ewolucja o i podobnie . Schemat ten jest całkowalny w tym sensie, że dzięki czemu mogę konsekwentnie obliczać z danych początkowych poprzez całkowanie w górę; stąd naprawdę muszę tylko spojrzeć na równania ewolucji dla i . $W_u$ $W_u(u,v+1) - W_u(u,v) = F(u,v)$ $W_v(u+1,v) - W_v(u,v) = F(u,v)$ $W (u, v) + W_{u} (u, v) + W_{v} (u + 1, v) = W (u + 1, v + 1) = W (u, v) + W_{v} (u, v) + W_{u} (u, v + 1)$ $W(u,v) + W_u(u,v) + W_v(u+1,v) = W(u+1,v+1) = W(u,v) + W_v(u,v) + W_u(u,v+1)$ $W$ $W_v$ $W_u$
Do danych początkowych potrzebujemy warunku zgodności . Co wskazuje, że można obliczyć wstępne dane używając do przodu (w ) skończoną różnicę w czasie wstępnej z wartościami danej w punktach pół całkowitych . $W_u(u,v) - W_v(u+1,v-1) = W(u+1,v-1) - W(u,v)$ $u$ $W$ $W_t$ $(u+0.5,v-0.5)$

Pytanie :

Czy to dobrze znany schemat? W szczególności, gdzie mogę znaleźć analizę tego programu?
Czy jest coś oczywistego, na co powinienem zwrócić uwagę?

Tło : Udawaj, że nic nie wiem (co prawdopodobnie jest prawdą, ponieważ jestem czystym matematykiem próbującym nauczyć się trochę maszynerii obliczeniowej).

Edycja 1 : W celu wyjaśnienia (zająć kilka uwag) w równanie współrzędne będzie i i są puste współrzędnych podaje (do około renormalising czynniki 2) oraz . Tak więc początkowe dane w są w rzeczywistości w . $x$ $t$

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt} - W_{xx} = F$

u

$u$

v

$v$

u = t + x

$u = t+x$

v = t - x

$v = t-x$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

{t = 0}

$\{t = 0\}$

Zamiast siatki dostosowanej do uważam siatkę przystosowaną do która jest „obrócona o 45 stopni”. W porównaniu z , gdzie ma wartości całkowitych, można myśleć o oczek o dodatkowe punkty, w których jak (ale nie tylko jeden) i przyjmują wartości pół całkowite. $(t,x)$ $(u,v)$ $(t,x)$ $t,x$ $u,v$ $t$ $x$

finite-difference reference-request hyperbolic-pde Willie Wong
źródło

Jestem trochę zdezorientowany przez twoje indeksy dolne, ale wydaje mi się, że jest to pewnego rodzaju sformułowanie w domenie czasowej o skończonej różnicy . . . być może z naprzemienną formułą siatki (półindeksy?).

meawoppl,

@meawoppl: Po prostu nazywa swoje zmienne zamiast jak to zwykle się dzieje. (W zwykłym sformułowaniu

są one również obracane o

w płaszczyźnie czasoprzestrzennej względem

, ale to osobna sprawa.)

u, v

$u,v$

x, t

$x,t$

u, v

$u,v$

45^{\circ}

$45^\circ$

x, t

$x,t$

Wolfgang Bangerth

Zredagowałem, aby wyjaśnić (wyjaśnienie Wolfganga Bangertha miałem na myśli).

Willie Wong,

Odpowiedzi:

Zdecydowanie istnieje literatura na temat takich programów. Są dwa słowa kluczowe

Zmodyfikowana metoda cech
Schematy pół Lagrange'a

Po 20 minutach przeglądania Google: niektóre potencjalnie ważne artykuły to http://dx.doi.org/10.1137/0719063 i http://dx.doi.org/10.1137/0728024 (szukaj dalej). Prawdopodobnie nie są to najlepsze odniesienia, ale powinny być punktem wyjścia do zapoznania się z odpowiednią literaturą.

Myślę o tym jak o obróconej metodzie linii z podziałem wymiarowym. Przypuszczalnie doskonale zdajesz sobie sprawę z równoważności swojego równania i zwykłej formy równania falowego przy przekształceniu Dla mnie warto pomyśleć o twoim schemacie w kategoriach tej tradycyjnej formy równania falowego. Schemat polega na zintegrowaniu najpierw wzdłuż jednego zestawu cech, a następnie wzdłuż drugiego. Integracja odbywa się za pomocą podziału wymiarowego i metody Eulera

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt}-W_{xx} = F$

u = t + x, v = t - x .

$u = t+x, \ \ \ \ v = t-x.$ , oba są dokładne z pierwszego rzędu.

Oczywiście, ponieważ integrujesz wzdłuż cech, twój schemat byłby dokładny w przypadku . Oznacza to, że błędy numeryczne w twoim schemacie będą wynikały tylko z integracji liczbowej (może to być oczywiste, ale być może przydatne jest wskazanie tych, którzy są przyzwyczajeni do bardziej tradycyjnych metod numerycznych). Co więcej, twój schemat jest bezwarunkowo stabilny dla przypadku . Nic więcej można powiedzieć o jego stabilności bez znając pewne właściwości . Zasadniczo schemat będzie stabilny tylko pod pewnymi ograniczeniami wielkości skończonego kroku (ponieważ metoda Eulera jest jednoznaczna). Jeśli jakobian z $F=0$ $F$ $F=0$ $F$ $F$ ma dowolnie wyimaginowane wartości własne, schemat będzie niestabilny.

Ogólne podejście dyskretyzacyjne polegające na zmniejszeniu PDE do systemu ODE (jak w twojej metodzie) jest znane jako metoda linii. Podobnie jak w przypadku każdej metody dyskretyzacji linii, można zwiększyć porządek dokładności, stosując solver ODE wyższego rzędu, a także poprawić stabilność, stosując odpowiedni domyślny solver ODE (przy jednoczesnym wzroście kosztu obliczeniowego na krok).

David Ketcheson
źródło

„ale Google bardziej ci pomoże” Właściwie to jeden z dużych problemów. Nie jestem do końca pewien, po co Google (podejrzewam, że literatura numeryczna może używać innych terminów niż czysta literatura). Jeśli możesz zasugerować kilka słów kluczowych, które powinienem wyszukać, byłbym wdzięczny. („Metoda wierszy”, na przykład, kieruje mnie do prawdziwego bogactwa informacji [może nawet trochę, żebym mógł przefiltrować :-)].)

Willie Wong 10'12

@WillieWong - Jednym z odniesień do równań hiperbolicznych, które często przytaczamy, są metody objętości skończonych LeVeque dla problemów hiperbolicznych . Nie jestem pewien, czy jest to odpowiednie odniesienie na początek, ale przynajmniej zapewni wprowadzenie do terminów i technik w tej dziedzinie.

Aron Ahmadia,

Ok, dodałem kilka słów kluczowych i referencji. Mam nadzieję, że pomogą.

David Ketcheson

Wielkie dzięki za referencje! To zapewniło mi dobry początek.

Willie Wong,

Począwszy od miejsca, w którym David Ketcheson zostawił mnie w swojej odpowiedzi, nieco więcej poszukiwań ujawniło kilka notatek historycznych.

Schemat, który przedstawiłem powyżej, rozważał już w 1900 r. J. Massau w Mémoire sur l'intégration graphique des équations aux dérivées partielles . Utwór został ponownie opublikowany w 1952 roku przez G. Delporte, Mons.

Pierwszą (choć krótką) współczesną analizę jej zbieżności przedstawili Courant, Friedrichs i Lewy's w klasycznym artykule z matematyki z 1928 r. Ann.

Willie Wong
źródło

Wow, nie mogę uwierzyć, że nie zdawałem sobie sprawy, że było to w dokumencie CFL ...

David Ketcheson