Matematycznie dlaczego działa zbieranie macierzy masy / wektora obciążenia?

13

Wiem, że ludzie często zastępują spójne macierze masy bryłami diagonalnymi. W przeszłości zaimplementowałem również kod, w którym wektor obciążenia jest składany w skupieniu, a nie w sposób zgodny z MES. Ale nigdy nie zastanawiałem się, dlaczego wolno nam to robić.

Jaka intuicja kryje się za zbijaniem, która pozwala zastosować ją do wektorów masy i obciążenia? Jakie jest tego matematyczne uzasadnienie? W jakich sytuacjach grudkowanie jest niedozwolone / nie jest dobrym przybliżeniem dla wektorów masy i obciążenia?

Paweł
źródło

Odpowiedzi:

16

W metodzie elementów skończonych wpisy macierzy i wpisy po prawej stronie są zdefiniowane jako całki. Zasadniczo nie możemy ich dokładnie obliczyć i zastosować kwadratury. Istnieje jednak wiele formuł kwadraturowych, które można wybrać, i często wybiera się je w taki sposób, aby (i) błąd wprowadzony przez kwadraturę był tego samego rzędu, co z powodu dyskretyzacji, lub przynajmniej nie znacznie gorzej, oraz (ii) matryca ma pewne właściwości, które okazują się wygodne.

Zrzucanie masy jest przykładem tego działania: jeśli wybierzesz konkretną formułę kwadraturową (mianowicie tę z punktami kwadraturowymi znajdującymi się w punktach interpolacji elementu skończonego), wówczas uzyskana macierz masy stanie się diagonalna. Jest to dość wygodne w przypadku implementacji obliczeniowej i dlatego ludzie używają tych formuł kwadraturowych. Jest to również powód, dla którego „działa”: ten szczególny wybór wzoru kwadraturowego nadal ma dość wysoki porządek.

Wolfgang Bangerth
źródło
Świetna odpowiedź, jak zawsze. Byłbym również bardzo zainteresowany twoją opinią na temat drugiej części pytania, w której zbieranie nie jest dozwolone / złe przybliżenie , jeśli coś przychodzi mi na myśl.
Anton Menshov
2
@AntonMenshov: Wydaje się, że uzyskanie odpowiedniego przybliżenia poprzez zbieranie elementów wyższych rzędów byłoby trudne (a może niemożliwe?), Ponieważ zbieranie (np. Ukośne) w takim przypadku byłoby równoznaczne z kwadraturą niższego rzędu stosowaną do wyższego rzędu wielomiany.
Paweł
@WolfgangBangerth: Myślę, że teraz rozumiem. To tak, jakby używać reguł Newtona-Cotesa do integracji zamiast kwadratury gaussowskiej. Ponieważ każda funkcja interpolacji zakresu lagów ma wartości jednostkowe w jednym określonym węźle, migracja punktów kwadraturowych do węzłów powoduje, że tylko składniki diagonalne stają się niezerowe (przynajmniej dla elementów liniowych).
Paweł
1
@Paul, użyłem masowego wypychania dla elementów wyższego rzędu (do 14) i działa dobrze. Jest to zwyczajowe w przypadku metody elementu spektralnego, w której węzły są używane jako punkty kwadraturowe. W takim przypadku kolejność przybliżenia . 2)n-3)
nicoguaro
1
Ważną kwestią jest to, że w przypadku elementów wyższego rzędu należy zdefiniować „skupioną” macierz masy za pomocą określonych wzorów kwadraturowych. Oryginalna forma - od której pochodzi termin „zbity” - dodawała do przekątnej wpisy o przekątnej, ale działa to tylko wtedy, gdy wszystkie są dodatnie. Jeśli zastosujesz kwadraturę Gaussa, dotyczy to elementów najniższego rzędu, ale nie dotyczy elementów wyższego rzędu.
Wolfgang Bangerth
5

Macierze diagonalne mają oczywiste zalety w przyspieszaniu obliczeń numerycznych, a odpowiedź Wolfganga Bangertha jest dobrym wyjaśnieniem sposobu obliczania diagonalnej macierzy masy, ale nie odpowiada na pytanie OP „dlaczego to działa ” w znaczeniu „dlaczego” jest to dobre przybliżenie do modelowanej fizyki ".

Koncepcyjnie można podzielić reakcję elementu na trzy części: ruch translacyjny sztywnego ciała, sztywny obrót wokół środka masy elementu i deformacja elementu.

12)vT.M.vv

zaza3)za5

Dlatego naprawdę potrzebujesz tylko „dobrego” przybliżenia sztywnych części ciała ruchu, tj. 6 DOF, a właściwie dobrego przybliżenia tylko KE ze sztywnego przesunięcia ciała , tj. 3 DOF, zbiegnie się, gdy rozmiar elementu jest zredukowany.

Terminy diagonalne macierzy elementów zawierają więcej niż wystarczającą liczbę niezależnych parametrów, aby reprezentować te 3 lub 6 warunków KE z wystarczającą dokładnością. W rzeczywistości w przypadku elementów wyższego rzędu można użyć macierzy masy diagonalnej masy, gdzie warunki diagonalne dla węzłów środkowej strony wynoszą zero.

Zauważ, że jest to zupełnie inna sytuacja od energii potencjalnej elementu, w której udziały przesunięcia i obrotu ciała sztywnego wynoszą zero, a jedyne, co się liczy, to reprezentowanie energii odkształcenia odpowiadającej deformacji elementu . Ukośne macierz sztywności zatem nie być wykonalne pomysł!

alephzero
źródło
5

Oprócz innych odpowiedzi istnieją scenariusze, w których błędy w macierzy masy nie mają wpływu na pożądany wynik.

K.(u) u=fa(u)u^K.(u) u+do(u) u˙+M. u¨=fa(u)M.dou˙=u¨=0M.

M.M.-1

1 Chociaż rozumowanie dynamicznego zachowania fizycznego jest oczywiście łatwiejsze dzięki „właściwej” macierzy masy - np. Moment pędu może być niewłaściwie zachowany przez skupione macierze masy.

Max Langhof
źródło
1
dou˙dou˙M.u¨dou˙do
u¨