Matematycznie dlaczego działa zbieranie macierzy masy / wektora obciążenia?

Wiem, że ludzie często zastępują spójne macierze masy bryłami diagonalnymi. W przeszłości zaimplementowałem również kod, w którym wektor obciążenia jest składany w skupieniu, a nie w sposób zgodny z MES. Ale nigdy nie zastanawiałem się, dlaczego wolno nam to robić.

Jaka intuicja kryje się za zbijaniem, która pozwala zastosować ją do wektorów masy i obciążenia? Jakie jest tego matematyczne uzasadnienie? W jakich sytuacjach grudkowanie jest niedozwolone / nie jest dobrym przybliżeniem dla wektorów masy i obciążenia?

W metodzie elementów skończonych wpisy macierzy i wpisy po prawej stronie są zdefiniowane jako całki. Zasadniczo nie możemy ich dokładnie obliczyć i zastosować kwadratury. Istnieje jednak wiele formuł kwadraturowych, które można wybrać, i często wybiera się je w taki sposób, aby (i) błąd wprowadzony przez kwadraturę był tego samego rzędu, co z powodu dyskretyzacji, lub przynajmniej nie znacznie gorzej, oraz (ii) matryca ma pewne właściwości, które okazują się wygodne.

Zrzucanie masy jest przykładem tego działania: jeśli wybierzesz konkretną formułę kwadraturową (mianowicie tę z punktami kwadraturowymi znajdującymi się w punktach interpolacji elementu skończonego), wówczas uzyskana macierz masy stanie się diagonalna. Jest to dość wygodne w przypadku implementacji obliczeniowej i dlatego ludzie używają tych formuł kwadraturowych. Jest to również powód, dla którego „działa”: ten szczególny wybór wzoru kwadraturowego nadal ma dość wysoki porządek.

Macierze diagonalne mają oczywiste zalety w przyspieszaniu obliczeń numerycznych, a odpowiedź Wolfganga Bangertha jest dobrym wyjaśnieniem sposobu obliczania diagonalnej macierzy masy, ale nie odpowiada na pytanie OP „dlaczego to działa ” w znaczeniu „dlaczego” jest to dobre przybliżenie do modelowanej fizyki ".

Koncepcyjnie można podzielić reakcję elementu na trzy części: ruch translacyjny sztywnego ciała, sztywny obrót wokół środka masy elementu i deformacja elementu.

$\frac 1 2 v^T M v$$v$

$a$$a^3$$a^5$

Dlatego naprawdę potrzebujesz tylko „dobrego” przybliżenia sztywnych części ciała ruchu, tj. 6 DOF, a właściwie dobrego przybliżenia tylko KE ze sztywnego przesunięcia ciała , tj. 3 DOF, zbiegnie się, gdy rozmiar elementu jest zredukowany.

Terminy diagonalne macierzy elementów zawierają więcej niż wystarczającą liczbę niezależnych parametrów, aby reprezentować te 3 lub 6 warunków KE z wystarczającą dokładnością. W rzeczywistości w przypadku elementów wyższego rzędu można użyć macierzy masy diagonalnej masy, gdzie warunki diagonalne dla węzłów środkowej strony wynoszą zero.

Zauważ, że jest to zupełnie inna sytuacja od energii potencjalnej elementu, w której udziały przesunięcia i obrotu ciała sztywnego wynoszą zero, a jedyne, co się liczy, to reprezentowanie energii odkształcenia odpowiadającej deformacji elementu . Ukośne macierz sztywności zatem nie być wykonalne pomysł!

Oprócz innych odpowiedzi istnieją scenariusze, w których błędy w macierzy masy nie mają wpływu na pożądany wynik.

$K(u) \space u = f(u)$$\hat{u}$$K(u) \space u + C(u) \space \dot{u} + M \space \ddot{u} = f(u)$$M$$C$$\dot{u} = \ddot{u} = 0$$M$

$M$$M^{-1}$

^{1 Chociaż rozumowanie dynamicznego zachowania fizycznego jest oczywiście łatwiejsze dzięki „właściwej” macierzy masy - np. Moment pędu może być niewłaściwie zachowany przez skupione macierze masy.}