W jaki sposób modyfikacje niskiej rangi wpływają na konwergencję metody Kryłowa?

14

Powiedzmy, że mam układ liniowy , który szybko zbiega się za pomocą odpowiedniej metody Kryłowa (takiej jak CG lub GMRES) dla wszystkich b . Jeśli B jest matrycą o niskim stopniu r , czy ta sama metoda Kryłowa w systemie ( A + B ) x = b również zbiegnie się szybko (idealnie z dodatkową liczbą iteracji, która w przybliżeniu zależy tylko od r )?Ax=bbBr(A+B)x=br

Przykładem takiego układu może być dobrze wstępnie kondycjonowana elastyczność i zginanie membrany plus warunki wstępne ciśnienia powietrza o gęstej strukturze produktu zewnętrznego.

Należy zauważyć, że pytanie jest taki sam, z lub bez wstępnego, od jest pozycja R modyfikacja P A P .P(A+B)Q=PAQ+PBQrPAQ

Geoffrey Irving
źródło

Odpowiedzi:

7

Jeśli podprzestrzeń Kryłowa oparta jest na mocach , zbieżność zostanie opóźniona o kilka iteracji co najwyżej o stopień korekty. Jeśli opiera się na potęgach A T A, to najwyżej dwukrotność tej liczby.AATA

Nie widziałem takiego stwierdzenia w literaturze. Ale aby zobaczyć ważność w pierwszym przypadku, wystarczy wykazać, że ta przestrzeń Kryłowa macierzy A + U S V T, gdzie U , V mają r kolumn, jest zawarta w odpowiedniej przestrzeni bez korekt niskiej rangi, ale z odpowiednio wyższy wskaźnik k + r . Jest to łatwe do zweryfikowania.kA+USVTU,Vrk+r

Arnold Neumaier
źródło
Czy potrafisz wyjaśnić, co rozumiesz przez „oparty na mocach ”? Solver Kryłowa otrzymuje informacje tylko o A + B , a nie bezpośrednio A. AA+BA
Geoffrey Irving,
Nieważne: przypuszczalnie masz na myśli moc omawianej macierzy, więc w tym przypadku A+B
Geoffrey Irving,
Tak. Ta metoda ma matrycę jako parametr i macierz ta jest zazwyczaj oznaczona przez . A
Arnold Neumaier,
Bx=(E+k=1(A1B)k)A1bBA1Bundisturbed