W jaki sposób modyfikacje niskiej rangi wpływają na konwergencję metody Kryłowa?

Powiedzmy, że mam układ liniowy , który szybko zbiega się za pomocą odpowiedniej metody Kryłowa (takiej jak CG lub GMRES) dla wszystkich b . Jeśli B jest matrycą o niskim stopniu r , czy ta sama metoda Kryłowa w systemie ( A + B ) x = b również zbiegnie się szybko (idealnie z dodatkową liczbą iteracji, która w przybliżeniu zależy tylko od r )?$A x = b$$b$$B$$r$$(A + B) x = b$$r$

Przykładem takiego układu może być dobrze wstępnie kondycjonowana elastyczność i zginanie membrany plus warunki wstępne ciśnienia powietrza o gęstej strukturze produktu zewnętrznego.

Należy zauważyć, że pytanie jest taki sam, z lub bez wstępnego, od jest pozycja R modyfikacja P A P .$P(A + B)Q = PAQ + PBQ$$r$$PAQ$

Jeśli podprzestrzeń Kryłowa oparta jest na mocach , zbieżność zostanie opóźniona o kilka iteracji co najwyżej o stopień korekty. Jeśli opiera się na potęgach A T A, to najwyżej dwukrotność tej liczby.$A$$A^TA$

Nie widziałem takiego stwierdzenia w literaturze. Ale aby zobaczyć ważność w pierwszym przypadku, wystarczy wykazać, że ta przestrzeń Kryłowa macierzy A + U S V T, gdzie U , V mają r kolumn, jest zawarta w odpowiedniej przestrzeni bez korekt niskiej rangi, ale z odpowiednio wyższy wskaźnik k + r . Jest to łatwe do zweryfikowania.$k$$A+USV^T$$U,V$$r$$k+r$