integracja numeryczna z możliwym dzieleniem przez „zero”

Próbuję zintegrować

$$\int^1_0 t^{2n+2}\exp\left({\frac{\alpha r_0}{t}}\right)dt$$

która jest prostą transformacją

$$\int^{\infty}_1 x^{2n}\exp(-\alpha r_0 x)dx$$

za pomocą $t = \frac1{x}$ponieważ trudno jest liczbowo aproksymować nieprawidłowe całki. Prowadzi to jednak do problemu oceny nowego całka blisko zera. Bardzo łatwo będzie uzyskać odpowiednią liczbę węzłów kwadraturowych, ponieważ przedział ma tylko długość 1 (więc porównywalny$dt$ może być bardzo mały), ale jakie uwagi należy wziąć pod uwagę przy integracji w pobliżu zera?

Na pewnym poziomie myślę, że to po prostu biorąc $\int^1_\epsilon t^{2n+2}\exp({\frac{\alpha r_0} {t}})dt$ jest dobrym pomysłem gdzie $\epsilon$to jakaś niewielka liczba. Jednak jaki numer powinienem wybrać? Czy powinien to być epsilon maszynowy? Czy podział przez epsilon maszynowy jest liczbą dobrze skwantyfikowaną? Co więcej, jeśli podział mojej maszyny epsilon (lub blisko niej) daje niewiarygodnie dużą liczbę, to biorąc$\exp(\frac{1}{\epsilon})$ stanie się jeszcze większy.

Jak mam to uwzględnić? Czy istnieje sposób na dobrze zdefiniowaną całkę numeryczną tej funkcji? Jeśli nie, jaki jest najlepszy sposób integracji funkcji?

Można tego dokonać poprzez integrację części:

$$\int^\infty_1 x e^{-ax} = \frac{-1}{a} x e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-1}{a} \int^\infty_1 e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{e^{-a}}{a^2} = \frac{a+1}{a^2} e^{-a}$$ i kontynuowanie przez indukcję $$\int^\infty_1 x^k e^{-ax} = \frac{-1}{a} x^k e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax}$$ po to aby $$I(k) = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} I(k-1)$$ i $I(0) = \frac{e^{-a}}{a}$.

Spójrz na QUADPACK . Ma procedury integracji z (pół-) nieskończonymi domenami.