Dlaczego lokalna ochrona jest ważna przy rozwiązywaniu problemu PDE?

Inżynierowie często nalegają na stosowanie lokalnie konserwatywnych metod, takich jak skończona objętość, konserwatywna skończona różnica lub nieciągłe metody Galerkina do rozwiązywania PDE.

Co może pójść nie tak przy użyciu metody, która nie jest lokalnie zachowawcza?

Okej, więc lokalna ochrona jest ważna dla hiperbolicznych PDE, a co z eliptycznymi PDE?

W rozwiązaniu nieliniowych hiperbolicznych PDE pojawiają się nieciągłości („szoki”), nawet gdy stan początkowy jest gładki. W przypadku nieciągłości pojęcie rozwiązania można zdefiniować jedynie w słabym znaczeniu. Prędkość liczbowa szoku zależy od narzucenia prawidłowych warunków Rankine'a-Hugoniota, co z kolei zależy od numerycznego spełnienia lokalnego prawa zachowania integralnego. Twierdzenie Laxa-Wendroffa gwarantuje, że zbieżna metoda numeryczna zbiegnie się do słabego rozwiązania hiperbolicznego prawa zachowania tylko wtedy, gdy metoda jest zachowawcza.

Nie tylko musisz zastosować metodę zachowawczą, ale w rzeczywistości musisz użyć metody, która zachowuje odpowiednie ilości. Jest ładny przykład, który wyjaśnia to w „Metodach objętości skończonej dla problemów hiperbolicznych” LeVeque, rozdział 11.12 i rozdział 12.9. Jeśli dyskretyzujesz równanie Burgersa

poprzez konsekwentną dyskretyzację

zauważysz, że wstrząsy poruszają się z niewłaściwą prędkością, bez względu na to, jak bardzo poprawisz siatkę. Oznacza to, że rozwiązanie numeryczne nie zbiegnie się z rozwiązaniem prawdziwym . Jeśli zamiast tego zastosujesz konserwatywną dyskretyzację

w oparciu o różnicowanie strumienia, wstrząsy będą poruszać się z właściwą prędkością (która jest średnią stanów po lewej i prawej stronie wstrząsu, dla tego równania). Ten przykład jest zilustrowany w tym notatniku IPython, który napisałem .

W przypadku liniowych PDE hiperbolicznych i innych typów PDE, które zazwyczaj mają gładkie rozwiązania, lokalna konserwacja nie jest niezbędnym składnikiem konwergencji. Może to jednak być ważne z innych powodów (np. Jeśli całkowita masa jest interesującą ilością).

Myślę, że jedną z odpowiedzi na twoje pytanie jest to, że niektóre społeczności po prostu zawsze stosowały konserwatywne schematy, dlatego stało się to częścią „sposobu, w jaki się to robi”. Można się spierać, czy jest to najlepszy sposób, ale jest to tak samo owocne, jak proszenie Brytyjczyków o jazdę po prawej stronie, ponieważ po prostu wygodniej byłoby mieć tylko po standardowej stronie.

To powiedziawszy, widzę przypadki, w których jest to przydatne. Pomyśl na przykład o dwufazowym przepływie porowatych mediów. Ten problem jest zwykle przedstawiany w następujący sposób: Tutaj częścią problemu jest rozwiązanie mieszanego Laplace'a, który tworzy pierwsze dwa równania, zadanie tradycyjnie wykonywane przy użyciu elementów Raviarta-Thomasa. Często wybiera się je ze względu na „znaczenie zapewnienia zachowania masy” i w pewnym sensie rozumiem, że: jeśli uzyskasz pole prędkości, które nie jest masowo konserwatywne, otrzymasz równanie nasycenia, które nie zachowuje całości masa transportowanego płynu. Oczywiście można argumentować, że to nie

Wiele razy równania do rozwiązania reprezentują fizyczne prawo zachowania. Na przykład równania Eulera dla dynamiki płynów są reprezentacjami zachowania masy, pędu i energii. Biorąc pod uwagę, że podstawowa rzeczywistość, którą modelujemy, jest konserwatywna, dobrze jest wybrać metody, które są również konserwatywne

Możesz również zobaczyć coś podobnego z polami elektromagnetycznymi. Prawa Maxwella obejmują warunek braku dywergencji dla pola magnetycznego, ale równanie to nie zawsze jest używane do ewolucji pól. Metoda, która zachowuje ten warunek (na przykład: ograniczony transport) pomaga dopasować fizykę rzeczywistości.

Edycja: @hardmath wskazał, że zapomniałem zająć się częścią pytania „co może pójść nie tak” (dzięki!). Pytanie dotyczy konkretnie inżynierów, ale przedstawię kilka przykładów z mojej dziedziny (astrofizyki) i mam nadzieję, że pomogą one zilustrować pomysły na tyle, aby uogólnić na to, co może pójść nie tak w aplikacji inżynierskiej.

(1) Podczas symulacji supernowej masz dynamikę płynów powiązaną z siecią reakcji jądrowych (i inną fizyką, ale to zignorujemy). Wiele reakcji jądrowych silnie zależy od temperatury, która (w przybliżeniu pierwszego rzędu) jest pewną miarą energii. Jeśli nie uda ci się zaoszczędzić energii, temperatura będzie albo zbyt wysoka (w takim przypadku twoje reakcje przebiegną o wiele za szybko i wprowadzisz znacznie więcej energii i dostaniesz ucieczkę, która nie powinna istnieć), albo zbyt niska (w którym to przypadku twoje reakcje biegnij o wiele za wolno i nie możesz zasilić supernowej).

(2) Symulując gwiazdy binarne, musisz przekształcić równanie pędu, aby zachować moment pędu. Jeśli nie uda ci się zachować pędu kątowego, twoje gwiazdy nie będą mogły prawidłowo krążyć wokół siebie. Jeśli uzyskają dodatkowy moment pędu, rozdzielają się i przestają prawidłowo oddziaływać. Jeśli utracą moment pędu, zderzają się ze sobą. Podobne problemy występują podczas symulacji dysków gwiezdnych. Zachowanie pędu (liniowego) jest pożądane, ponieważ prawa fizyki zachowują pęd liniowy, ale czasami trzeba porzucić pęd liniowy i zachować moment pędu, ponieważ jest to ważniejsze dla danego problemu.

Muszę przyznać, że nie wspominając o braku rozbieżności pól magnetycznych. Nieutrzymanie stanu wolnego od dywergencji może generować monopole magnetyczne (których obecnie nie mamy dowodów), ale nie mam dobrych przykładów problemów, które mogą powodować w symulacji.

Dzisiaj natrafiam na tezę: Schemat EMAC dla symulacji Naviera-Stokesa i aplikacji do przepływania w przeszłości przez ciała blefowe i zauważam, że sekcja 1.2 tej odpowiedzi przynajmniej częściowo odpowiada na pytanie OP. Odpowiednie części to:

Powszechnie uważa się w społeczności obliczeniowej dynamiki płynów ( CFD ), że im bardziej fizyka jest wbudowana w dyskretyzację, tym bardziej dokładne i stabilne są dyskretne rozwiązania, szczególnie w dłuższych przedziałach czasowych. N. Phillips w 1959 r. [42] skonstruował przykład barotropowego nieliniowego równania wirowości (używając schematu różnic skończonych), w którym długotrwała całkowanie terminów konwekcji powoduje niepowodzenie symulacji numerycznych dla dowolnego kroku czasowego. W [4] Arakawa pokazał, że można uniknąć problemów z niestabilnością dzięki integracji przez długi czas, jeśli energia kinetyczna i enstrofia (w 2D) są zachowane przez schemat dyskretyzacji. … W 2004 r. Liu i Wang opracowali układ oszczędzający helisę i energię dla przepływów trójwymiarowych. W pracy [35] przedstawiają schemat zachowania energii i zachowania helikalności dla przepływów osiowosymetrycznych. Pokazują również, że ich podwójny schemat konserwacji eliminuje potrzebę dużej niefizycznej lepkości numerycznej. …

… Od dziesięcioleci w CFD wiadomo, że im więcej wielkości fizycznych jest zachowywanych przez schemat elementów skończonych, tym dokładniejsze są prognozy, szczególnie w długich odstępach czasu. Zatem rozwiązania zapewniane przez bardziej dokładny fizycznie schemat są również bardziej odpowiednie fizycznie. Jeśli stać nas na całkowicie rozwiązaną siatkę i nieskończenie mały krok czasowy, uważa się, że wszystkie powszechnie stosowane schematy elementów skończonych zapewniają te same rozwiązania numeryczne. Jednak w praktyce nie można sobie pozwolić na w pełni rozwiązaną siatkę w symulacjach 3D, szczególnie w przypadku problemów zależnych od czasu. Na przykład w rozdziale 2 potrzebujemy 50–60 tysięcy kroków czasowych, przy czym każdy krok wymaga rozwiązania rzadkiego układu liniowego z 4 milionami niewiadomych. Wymagało to 2-3 tygodni czasu obliczeniowego z wysoce równoległym kodem na 5 węzłach z 24 rdzeniami każdy.