Próbuję rozwiązać następujący układ równań dla zmiennych i (wszystkie pozostałe są stałymi):x 2
Widzę, że mogę przekształcić ten układ równań w pojedyncze równanie jednej zmiennej , rozwiązując równania 1 i 2 odpowiednio dla i i podstawiając je w równanie 3. W ten sposób jestem w stanie użyć matlaba polecenie, aby znaleźć rozwiązanie. Korzystając z parametrów , i , znalazłem prawdziwe rozwiązanie .fzero
Jednak gdy zastosuję metodę Newtona zastosowaną do oryginalnego układu równań 3 wariacja - 3, iteracje nigdy nie zbiegają się z rozwiązaniem, bez względu na to, jak blisko zaczynam prawdziwe rozwiązanie .
Na początku podejrzewałem błąd w mojej implementacji metody Newtona. Po kilkakrotnym sprawdzeniu nie znalazłem błędu. Potem spróbowałem użyć początkowego odgadnięcia , a oto: jakobian jest liczbą pojedynczą. Wiem, że osobliwy jakobian może zmniejszyć porządek konwergencji, ale nie sądzę, aby koniecznie zapobiegał konwergencji do prawdziwego rozwiązania.
Moje pytanie brzmi: biorąc pod uwagę, że jakobian systemu w prawdziwym rozwiązaniu jest szczególny:
Jakie inne warunki są konieczne, aby udowodnić, że metoda Newtona nie zbiegnie się z pierwiastkiem?
Czy strategia globalizacji (np. Przeszukiwanie linii) gwarantowałaby konwergencję pomimo pojedynczego jakobiańskiego?