Strategie metody Newtona, gdy jakobian przy rozwiązaniu jest osobliwy

12

Próbuję rozwiązać następujący układ równań dla zmiennych i (wszystkie pozostałe są stałymi):x 2P.,x1x2)

ZA(1-P.)2)-k1x1=0ZAP.2)-k2)x2)=0(1-P.)(r1+x1)4L.1-P.(r1+x2))4L.2)=0

Widzę, że mogę przekształcić ten układ równań w pojedyncze równanie jednej zmiennej , rozwiązując równania 1 i 2 odpowiednio dla i i podstawiając je w równanie 3. W ten sposób jestem w stanie użyć matlaba polecenie, aby znaleźć rozwiązanie. Korzystając z parametrów , i , znalazłem prawdziwe rozwiązanie .(P.)x1x2)fzerok1=k2)=1r1=r2)=0.2ZA=2)P.=x1=x2)=0,5

Jednak gdy zastosuję metodę Newtona zastosowaną do oryginalnego układu równań 3 wariacja - 3, iteracje nigdy nie zbiegają się z rozwiązaniem, bez względu na to, jak blisko zaczynam prawdziwe rozwiązanie . x=(P.,x1,x2))=(0,5,0,5,0,5)

Na początku podejrzewałem błąd w mojej implementacji metody Newtona. Po kilkakrotnym sprawdzeniu nie znalazłem błędu. Potem spróbowałem użyć początkowego odgadnięcia , a oto: jakobian jest liczbą pojedynczą. Wiem, że osobliwy jakobian może zmniejszyć porządek konwergencji, ale nie sądzę, aby koniecznie zapobiegał konwergencji do prawdziwego rozwiązania. x0=x

Moje pytanie brzmi: biorąc pod uwagę, że jakobian systemu w prawdziwym rozwiązaniu jest szczególny:

  1. Jakie inne warunki są konieczne, aby udowodnić, że metoda Newtona nie zbiegnie się z pierwiastkiem?

  2. Czy strategia globalizacji (np. Przeszukiwanie linii) gwarantowałaby konwergencję pomimo pojedynczego jakobiańskiego?

Paweł
źródło

Odpowiedzi:

4

(1): Zależy to od zachowania pochodnych jakobianu (sic!) W pustej przestrzeni jakobianu przy rozwiązaniu. W praktyce nikt nie oblicza tych pochodnych, a ja nawet nie zadałem sobie trudu zapamiętania dokładnych warunków.

(2) działa, chociaż zbieżność jest tylko liniowa.

Aby uzyskać zbieżność superliniową (przynajmniej w większości przypadków), można zastosować metody tensorowe. Patrz np.
Https://cfwebprod.sandia.gov/cfdocs/CCIM/docs/SAND2004-1944.pdf
http://www.jstor.org/stable/10.2307/2156931
http://www.springerlink.com/ indeks / X5G827367G548327.pdf

Arnold Neumaier
źródło
3

Zamiast przeszukiwania linii możesz spróbować zmodyfikować metodę Newtona do algorytmu Levenberga-Marquardta . Implementacja jest dość prosta, jeśli używasz Matlaba.

Leo Uieda
źródło