Opis eksperymentu:
W interpolacji Lagrange'a dokładne równanie jest próbkowane w punktach (rząd wielomianu ) i interpolowane w 101 punktach. Tutaj zmienia się od 2 do 64. Za każdym razem , przygotowywane są wykresy błędów , i . Okazuje się, że gdy ta funkcja jest próbkowany z punktów równo rozmieszczonych na błędu spada początkowo (zdarza się do jest mniejsza niż około 15 lub więcej), po czym błąd wzrasta wraz z dalszym wzrostem w .N - 1 N L 1 L 2 L ∞ N N
Podczas gdy początkowe próbkowanie odbywa się w punktach Legendre-Gaussa (LG) (pierwiastki wielomianów Legendre) lub w punktach Legendre-Gaussa-Lobatto (LGL) (pierwiastki wielomianów Lobatto), błąd spada do poziomu maszyny i nie zwiększyć, gdy jest dalej zwiększane.
Moje pytania są
Co dokładnie dzieje się w przypadku punktów o równych odstępach?
Dlaczego wzrost kolejności wielomianowej powoduje wzrost błędu po określonym punkcie?
Czy to oznacza również, że jeśli użyję punktów o równych odstępach do rekonstrukcji WENO / ENO (używając wielomianów Lagrange'a), to w obszarze gładkim dostaję błędy? (cóż, są to tylko pytania hipotetyczne (dla mojego zrozumienia), naprawdę nie ma sensu rekonstruować wielomianu rzędu 15 lub więcej dla schematu WENO)
Dodatkowe Szczegóły:
Przybliżona funkcja:
,
podzielone na równych punktów (a później LG) punktów. Funkcja interpolowana jest za każdym razem w 101 punktach.
Wyniki:
- a) Punkty o równych odstępach (interpolacja dla ):
- b) Punkty o równych odstępach (wykres błędu, skala logu):
a) Punkty LG (interpolacja dla ):
b) Punkty LG (wykres błędu, skala logu):
To naprawdę interesujące pytanie i istnieje wiele możliwych wyjaśnień. Jeśli próbujemy zastosować interpolację wielomianową, zauważ, że wielomian spełnia następującą irytującą nierówność
Biorąc pod uwagę wielomian o stopniu nieprzekraczającym N , mamyP. N.
dla każdego . Jest to znane jako nierówność Bernsteina , zauważ osobliwość tej nierówności. Może to być ograniczone nierównością Markowax ∈ ( - 1 , 1 )
i zauważmy, że jest to ostre w tym sensie, że wielomiany Chebysehva tworzą to równanie. Innymi słowy, mamy następujące połączone powiązanie.
Co to oznacza: gradienty wielomianów rosną wszędzie liniowo w swojej kolejności, z wyjątkiem małych dzielnic granic przedziałów. Na granicach rosną bardziej jak . To nie przypadek, że wszystkie stabilne węzły interpolacji mają klaster pobliżu granic. Grupowanie jest konieczne do kontrolowania gradientów podstawy, podczas gdy w pobliżu punktu środkowego można być nieco bardziej zrelaksowanym.N.2) 1 / N2)
Okazuje się jednak, że niekoniecznie jest to zjawisko wielomianowe, sugeruję następujący artykuł:
http://math.la.asu.edu/~platte/pub/prevised.pdf
Mówi luźno: jeśli masz taką samą moc aproksymacji podstawy wielomianu, to nie możesz używać punktów o równej odległości w stabilny sposób.
źródło
Problemem nie są jednakowo rozmieszczone punkty . Problemem jest globalne wsparcie funkcji podstawowych wraz z równo rozmieszczonymi punktami. Idealnie dobrze uwarunkowany interpolant wykorzystujący równomiernie rozmieszczone punkty opisano w analizie numerycznej Kressa, wykorzystując funkcje bazowe splajnu sześciennego b zwartej podpory.
źródło
Jest to podobne do zjawiska Runge'a, w którym przy węzłach o równych odstępach błąd interpolacji dochodzi do nieskończoności wraz ze wzrostem stopnia wielomianu, tj. Liczby punktów.
Jeden z źródeł tego problemu można znaleźć w stałej Lebesgue'a, jak odnotowano w komentarzu @ Subodha do odpowiedzi @Pedro. Ta stała wiąże interpolację z najlepszym przybliżeniem.
Niektóre notacje
Mamy funkcję do interpolacji węzłów . W interpolacji Lagrange'a zdefiniowane są wielomiany Lagrange'a :fa∈ C.( [ a , b ] ) xk
z tym definiuje się wielomian interpolacyjny nad parami dla notacji świetlnejpn∈ P.n ( xk, f( xk) ) ( xk, fk)
Rozważmy teraz zaburzenie danych, może to być na przykład zaokrąglenie, więc mamy . Dzięki temu nowy wielomian jest:fa~k p~n
Szacunkowe błędy to:
Teraz można zdefiniować stałą Lebesgue'a jako:Λn
Dzięki temu ostateczne szacunki są następujące:
(uwaga marginalna, wyglądamy tylko na normę również dlatego, że jesteśmy ponad przestrzenią skończonej miary, więc )∞ L.∞⊆ ⋯ ⊆ L.1
Z powyższych obliczeń wynika, że to:Λn
Jest to również norma operatora interpolacji przestrzegającego norma.| | ⋅ | |∞
Z poniższym twierdzeniem mamy oszacowany błąd interpolacji przy stałej stałej Lebesgue'a:
Tzn. Jeśli jest mały, błąd interpolacji nie jest od błędu najlepszego przybliżenia jednolitego, a twierdzenie porównuje błąd interpolacji z najmniejszym możliwym błędem, który jest błędem najlepszego przybliżenia jednolitego.Λn
W tym celu zachowanie interpolacji zależy od rozkładu węzłów. Istnieją dolne granice w że przy danym rozkładzie węzłów istnieje stała taka, że: więc stała rośnie, ale jak rośnie importan.Λn do
Dla węzłów o odstępach Pominąłem niektóre szczegóły, ale widzimy, że wzrost jest wykładniczy.
W przypadku węzłów Czebyszewa również tutaj pominąłem niektóre szczegóły, są bardziej dokładne i skomplikowane oszacowanie. Zobacz [1] po więcej szczegółów. Zauważ, że węzły rodziny Czebyszewa mają logarytmiczny wzrost i z poprzednich szacunków jest blisko najlepszych, jakie możesz uzyskać.
W przypadku innych dystrybucji węzłów zobacz na przykład tabelę 1 tego artykułu .
W książce jest wiele odniesień na temat interpolacji. On-line te slajdy są ładne jak CV.
Również ten otwarty artykuł ([1])
Numeryczne porównanie interpolacji siedmiu siatek dla wielomianu w interwale dla różnych porównań.
źródło
Dobrze jest zdawać sobie sprawę z interpolants Pływak-Hörmann gdy mają (lub chcą) praca z równoodległych punktów .{ xja}i = 1 … n
Biorąc pod uwagę liczbę całkowitą z , niech będzie wielomianowym interpolantem . Następnie interpolant FH funkcji w ma postać0 ≤ d ≤ n p i { x i , … x i + d } fre 0 ≤ d≤ n pja { xja, … Xi + d} fa { xja}i = 1 … n
z „funkcjami mieszania”
Niektóre właściwości tych interpolantów:
Biblioteka Chebfun wykorzystuje interpolanty FH podczas budowania
chebfuns
nierównomiernych danych, jak wyjaśniono tutaj .Referencje:
źródło