Jak skonstruować dobrze zrównoważoną skończoną objętość i nieciągłe metody Galerkina dla hiperbolicznych PDE z terminami źródłowymi?

Terminy źródłowe, takie jak te wynikające z batymetrii w równaniach płytkiej wody, muszą być zintegrowane w specjalny sposób, aby zachować fizyczne stany ustalone. Czy istnieje ogólny sposób konstruowania dobrze zrównoważonych metod, czy też wymaga specjalnych technik dla każdego równania?

Krótka odpowiedź brzmi: wymaga określonej pracy dla różnych równań, ale istnieją pewne ogólne techniki, które sugerują, jak to zrobić. Zasadniczo, biorąc pod uwagę PDE ewolucji pierwszego rzędu

gdzie są niektórymi (być może różnicowymi) operatorami, stanami ustalonymi są te, dla których$A,B$

Powszechnie stosuje się podejście dzielące, w którym i są dyskretne na różne sposoby. Następnie wystąpią błędy obcięcia związane z każdą z tych dyskretyzacji, a błędy obcięcia na ogół nie zostaną anulowane nawet w przypadku stanu ustalonego. Klasycznym przykładem (jak wspomniano w pytaniu) są równania płytkiej wody z batymetrią, w których reprezentuje warunki konwekcyjne, a reprezentuje wymuszanie pędu z powodu zmiennej wysokości dna. W ciągu ostatnich kilku lat opublikowano wiele artykułów, które podają różne sposoby dokładnego utrzymania rozwiązań w stanie ustalonym.B A $A$$B$$A$$B$

Jednym z podejść, które lubię, jest zastosowanie solwerów Riemanna z falą F, jak zaproponowali Bale i in. glin. . Chodzi o to, aby dyskretyzować terminy konwekcyjne metodą typu Godunowa, ale odjąć wkład od innych terminów wewnątrz solwera Riemanna. Następnie w przypadku stanu ustalonego fale nie są generowane. Wymaga to jednak dokładnego obliczenia warunków konwekcyjnych i źródłowych (aby anulować dokładnie). Jest to możliwe w przypadku równań płytkiej wody, ale trudniejsze w przypadku wielu innych układów.