Jak skonstruować dobrze zrównoważoną skończoną objętość i nieciągłe metody Galerkina dla hiperbolicznych PDE z terminami źródłowymi?

13

Terminy źródłowe, takie jak te wynikające z batymetrii w równaniach płytkiej wody, muszą być zintegrowane w specjalny sposób, aby zachować fizyczne stany ustalone. Czy istnieje ogólny sposób konstruowania dobrze zrównoważonych metod, czy też wymaga specjalnych technik dla każdego równania?

Jed Brown
źródło

Odpowiedzi:

7

Krótka odpowiedź brzmi: wymaga określonej pracy dla różnych równań, ale istnieją pewne ogólne techniki, które sugerują, jak to zrobić. Zasadniczo, biorąc pod uwagę PDE ewolucji pierwszego rzędu

ut=Au+Bu

gdzie są niektórymi (być może różnicowymi) operatorami, stanami ustalonymi są te, dla którychA,B

Au+Bu=0.

Powszechnie stosuje się podejście dzielące, w którym i są dyskretne na różne sposoby. Następnie wystąpią błędy obcięcia związane z każdą z tych dyskretyzacji, a błędy obcięcia na ogół nie zostaną anulowane nawet w przypadku stanu ustalonego. Klasycznym przykładem (jak wspomniano w pytaniu) są równania płytkiej wody z batymetrią, w których reprezentuje warunki konwekcyjne, a reprezentuje wymuszanie pędu z powodu zmiennej wysokości dna. W ciągu ostatnich kilku lat opublikowano wiele artykułów, które podają różne sposoby dokładnego utrzymania rozwiązań w stanie ustalonym.B A BABAB

Jednym z podejść, które lubię, jest zastosowanie solwerów Riemanna z falą F, jak zaproponowali Bale i in. glin. . Chodzi o to, aby dyskretyzować terminy konwekcyjne metodą typu Godunowa, ale odjąć wkład od innych terminów wewnątrz solwera Riemanna. Następnie w przypadku stanu ustalonego fale nie są generowane. Wymaga to jednak dokładnego obliczenia warunków konwekcyjnych i źródłowych (aby anulować dokładnie). Jest to możliwe w przypadku równań płytkiej wody, ale trudniejsze w przypadku wielu innych układów.

David Ketcheson
źródło