Czy zasada maksimum / minimum równania ciepła jest utrzymywana przez dyskretyzację Cranka-Nicolsona?

10

Używam schematu różnic skończonych Cranka-Nicolsona do rozwiązania równania cieplnego 1D. Zastanawiam się, czy zasada maksimum / minimum równania ciepła (tj. Że maksimum / minimum występuje w stanie początkowym lub na granicach) również obowiązuje dla rozwiązania dyskretnego.

Prawdopodobnie wynika to z faktu, że Crank-Nicolson jest stabilnym i zbieżnym schematem. Wygląda jednak na to, że możesz to udowodnić bezpośrednio za pomocą argumentu algebry liniowej przy użyciu matryc utworzonych ze wzoru Cranka-Nicolsona.

Byłbym wdzięczny za wszelkie wskazówki do literatury na ten temat. Dzięki.

foobarbaz
źródło
Cześć foobarbaz i witamy w scicomp! Zakładam, że twój problem nie ma warunków źródłowych, prawda?
Paweł

Odpowiedzi:

8

Zasada maksimum dla Crank-Nicolson będzie obowiązywać, jeśli dla timepepki odstępów między siatkamih. Ogólnie rzecz biorąc, możemy rozważyćschematθw postaci un+1=un+μ

μkh21
khθ gdzieAjest standardową macierzą Laplaciana, a0θ1. Jeśliμ(1-2θ)1
un+1=un+μ2((1θ)Aun+θAun+1)
A0θ1 , następnie schemat jest stabilny. (Można to łatwo wykazać za pomocą technik Fouriera.) Jednak silniejszym kryterium jest to, żeμ(1-θ)1μ(12θ)12 jest potrzebne, aby zasada maksymalnej wartości była ogólnie ważna.μ(1θ)12

Aby uzyskać dowód, zobacz Numeryczne rozwiązania częściowych równań różniczkowych autorstwa KW Mortona . W szczególności spójrz na sekcje 2.10 i 2.11 oraz Twierdzenie 2.2.


Jest też fajny sposób, aby przekonać się, że zasada maksimum nie będzie obowiązywać ogólnie dla Cranka-Nicolsona bez ograniczenia .μ

Rozważ równanie cieplne na z dyskretyzacją zawierającą 3 punkty, w tym granicę. Niech u k i oznacza dyskretyzację w punkcie czasowym k i punkcie siatki i . Załóżmy granicę Dirichleta, aby u k 0 = u k 2 = 0 dla wszystkich k . Następnie Crank-Nicolson zmniejsza się do ( 1 - μ[0,1]uikkiu0k=u2k=0k które można dodatkowo zredukować do u n + 1 1 =(1-μ

(1μ2(2))u1n+1=(1+μ2(2))u1n,
u1n+1=(1μ1+μ)u1n.

Jeśli weźmiemy pod uwagę warunek początkowy , to mamy u n 1 = ( 1 - μu10=1

u1n=(1μ1+μ)n,
u1n1u1n<0nμ1μ1μ

W odpowiedzi na prośbę foobarbazu dodałem szkic dowodu.

(1+2θμ)ujn+1=θμ(uj1n+1+uj+1n+1)+(1θ)μ(uj1n+uj+1n)+[12(1θ)μ]ujn

μ(1θ)12

ujn+1uj1n+1uj+1n+1uj1nuj+1nujnujn+1ujn+1

(1+2θμ)ujn+1>θμ(uj1n+1+uj+1n+1)+(1θ)μ(uj1n+uj+1n)+[12(1θ)μ]ujn=(1+2θμ)ujn+1

ujn+1u

Ben
źródło
Dzięki! Czy zdarzyło Ci się znać inne referencje oprócz Mortona? Nie mam dostępu do tych sekcji ani twierdzenia w podglądzie książki Google. Chciałbym zrozumieć dowód.
foobarbaz
@foobarbaz Nie mam innego podręcznego podręcznika, ale dodałem zarys dowodu. Daj mi znać, jeśli mogę to wyjaśnić.
Ben
0

Stabilność oznacza, że ​​zaburzenie pozostaje ograniczone w czasie. Nie oznacza to, że zasada maksimum jest spełniona na poziomie dyskretnym, to inna sprawa. Spełnienie zasady dyskretnego maksimum jest wystarczające, ale nie konieczne dla stabilności.

Chris
źródło