Używam schematu różnic skończonych Cranka-Nicolsona do rozwiązania równania cieplnego 1D. Zastanawiam się, czy zasada maksimum / minimum równania ciepła (tj. Że maksimum / minimum występuje w stanie początkowym lub na granicach) również obowiązuje dla rozwiązania dyskretnego.
Prawdopodobnie wynika to z faktu, że Crank-Nicolson jest stabilnym i zbieżnym schematem. Wygląda jednak na to, że możesz to udowodnić bezpośrednio za pomocą argumentu algebry liniowej przy użyciu matryc utworzonych ze wzoru Cranka-Nicolsona.
Byłbym wdzięczny za wszelkie wskazówki do literatury na ten temat. Dzięki.
linear-algebra
pde
finite-difference
crank-nicolson
foobarbaz
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Zasada maksimum dla Crank-Nicolson będzie obowiązywać, jeśli dla timepepki odstępów między siatkamih. Ogólnie rzecz biorąc, możemy rozważyćschematθw postaci un+1=un+μ
Aby uzyskać dowód, zobacz Numeryczne rozwiązania częściowych równań różniczkowych autorstwa KW Mortona . W szczególności spójrz na sekcje 2.10 i 2.11 oraz Twierdzenie 2.2.
Jest też fajny sposób, aby przekonać się, że zasada maksimum nie będzie obowiązywać ogólnie dla Cranka-Nicolsona bez ograniczenia .μ
Rozważ równanie cieplne na z dyskretyzacją zawierającą 3 punkty, w tym granicę. Niech u k i oznacza dyskretyzację w punkcie czasowym k i punkcie siatki i . Załóżmy granicę Dirichleta, aby u k 0 = u k 2 = 0 dla wszystkich k . Następnie Crank-Nicolson zmniejsza się do ( 1 - μ[ 0 , 1 ] ukja k i uk0=uk2=0 k
które można dodatkowo zredukować do
u n + 1 1 =(1-μ
Jeśli weźmiemy pod uwagę warunek początkowy , to mamy u n 1 = ( 1 - μu01=1
W odpowiedzi na prośbę foobarbazu dodałem szkic dowodu.
źródło
Stabilność oznacza, że zaburzenie pozostaje ograniczone w czasie. Nie oznacza to, że zasada maksimum jest spełniona na poziomie dyskretnym, to inna sprawa. Spełnienie zasady dyskretnego maksimum jest wystarczające, ale nie konieczne dla stabilności.
źródło