Oscylacje w wyjątkowo zaburzonych problemach reakcji-dyfuzji z elementami skończonymi

Podczas dyskretyzacji MES i rozwiązania problemu dyfuzji reakcji, np. przy (pojedyncze zaburzenie), rozwiązanie problemu dyskretnego zwykle wykazuje warstwy oscylacyjne blisko granicy. Z , i liniowych elementów skończonych, roztwór wygląda jak

- ε Δ u + u = 1 on Ω u = 0 on \partial Ω

$- \varepsilon \Delta u + u = 1 \text{ on } \Omega\\ u = 0 \text{ on } \partial\Omega$

0 < ε ≪ 1

$0 < \varepsilon \ll 1$

Ω = (0, 1)

$\Omega = (0,1)$

ε = 10^{- 5}

$\varepsilon=10^{-5}$

u_{h}

$u_h$

rozwiązanie szczególnie zaniepokojonego problemu

Widzę, że istnieje wiele literatury na temat takich niepożądanych efektów, gdy są one powodowane przez konwekcję (np. Dyskretyzacje pod wiatr), ale jeśli chodzi o reakcje, ludzie wydają się skupiać na wyrafinowanych siatkach (Shishkin, Bakhvalov).

Czy istnieją dyskretyzacje, które unikają takich oscylacji, tj. Które zachowują monotoniczność? Co jeszcze może być przydatne w tym kontekście?

finite-element discretization numerical-analysis singular-perturbation Nico Schlömer
źródło

Czy centralny program różnic nie zachowuje monotoniczności, ponieważ prowadzi do matrycy M ?

Hui Zhang

⟨ 1 ϕ_{i}, ϕ_{j} ⟩ > 0

$\langle 1 \phi_i, \phi_j\rangle > 0$

@HuiZhang Masz oczywiście rację w przypadku różnic skończonych (i także skończonych). Dostosuję odpowiedź, aby wyraźniej stwierdzić, że interesują mnie elementy skończone.

Nico Schlömer,

Nieciągłe metody Galerkina stały się dość popularne z powodu takich problemów - czy spojrzałeś na książkę Di Pietro i Erna?

Christian Clason

Odpowiedzi:

W pokazanym przypadku rozwiązanie ma warstwę graniczną. Jeśli nie możesz go rozwiązać, ponieważ twoja siatka jest zbyt gruba, wówczas we wszystkich kwestiach praktycznych rozwiązanie jest nieciągłe w stosunku do schematu numerycznego.

$N$

$\varepsilon$ $h\rightarrow 0$

Wolfgang Bangerth
źródło

TL; DR: Twoje opcje są ograniczone 1) dostosuj brutalną siłę, aby uzyskać dokładne i drogie rozwiązanie 2) użyj dyfuzji numerycznej, aby uzyskać mniej dokładne, ale stabilne rozwiązanie lub (mój ulubiony) 3) wykorzystaj fakt, że jest to szczególny problem perturbacji i rozwiąż dwa niedrogie problemy wewnętrzne / zewnętrzne i pozwól dopasowanej asymptotyce wykonać swoją magię!

$\delta = \mathcal{O}(\sqrt{\epsilon})$

$x = \mathcal{O}(\delta)$ $\eta = x/\delta$

- Δ u_{i} + u_{i} = 1

$-\Delta u_i + u_i = 1$

$u(0) = 0$ $u_i(\eta\rightarrow\infty) = u_o(x\rightarrow0)$ $u_o$ $x = \mathcal{O}(1)$ $u$ $1$ $u_0 = 1$ rozwiązanie wewnętrzne z łatwością - w tym przypadku nawet analitycznie.

Jest to w rzeczywistości technika, która była (i nadal jest) bardzo popularna w rozwiązywaniu problemów laminarnych warstw granicznych w mechanice płynów już w ciągu dnia. W rzeczywistości, jeśli spojrzysz na równania Naviera-Stokesa, przy wysokich liczbach Reynoldsa, skutecznie stajesz w obliczu pojedynczego problemu perturbacji, który podobnie jak ten, o którym tu wspomniałeś, rozwija warstwę graniczną (zabawny fakt: pojęcia „warstwa graniczna” w zaburzeniu analiza faktycznie pochodzi od opisanego właśnie problemu warstwy granicznej płynu).

$u_0 = 1$

GradGuy
źródło