Ciśnienie jako mnożnik Lagrange'a

12

W nieściśliwych równaniach Naviera-Stokesa

ρ(ut+(u)u)=p+μΔu+fu=0
pojęcie ciśnienia jest często określane jako mnożnik Lagrange'a wymuszający warunek nieściśliwości.

W jakim sensie to prawda? Czy istnieje sformułowanie nieściśliwych równań Naviera-Stokesa jako problemu optymalizacji podlegającego ograniczeniu nieściśliwości? Jeśli tak, to czy istnieje numeryczny analog, w którym równania przepływu nieściśliwego płynu są rozwiązywane w ramach optymalizacji?

Ben
źródło

Odpowiedzi:

18

μΔu+p=fu=0
minuμ2u2(f,u)so thatu=0.

Ta równoważność problemów nie jest wykorzystywana w żadnym schemacie numerycznym (o którym wiem), ale jest ważnym narzędziem w analizie, ponieważ pokazuje, że równania Stokesa są zasadniczo równaniem Poissona w liniowej podprzestrzeni. To samo dotyczy zależnych od czasu równań Stokesa (które odpowiadają równaniu ciepła w podprzestrzeni) i można je rozszerzyć na równania Naviera-Stokesa.

Wolfgang Bangerth
źródło
Dzięki za świetną odpowiedź. Czy wiesz, czy ten preparat można rozszerzyć na przypadek zależny od czasu?
Ben
1
Tak, jak mówię, prowadzi to do równania cieplnego w podprzestrzeni funkcji wolnych od dywergencji.
Wolfgang Bangerth
1
Przepraszam, powinienem był być jaśniejszy. Czy istnieje sposób na przekształcenie zależnych od czasu równań Stokesa (lub Naviera-Stokesa) jako problem optymalizacji, być może funkcjonalnej zintegrowanej w czasie?
Ben
1
Nie jako problem optymalizacji - rozwiązanie równania cieplnego niczego nie minimalizuje (choć jest to stacjonarny punkt funkcji Lagrangian). Ale możesz sformułować równania Stokesa w następujący sposób: Znajdź , aby dla wszystkich zastrzeżeniem ograniczenia, że . Zauważ, że wybrałem przestrzeń testową mniejszą niż przestrzeń próbna, więc lewa i prawa strona równania wariacyjnego nie będą równe. Różnica polega na ciśnieniu. uHdiv(ut,φ)+(u,φ)=(f,φ)φ{vHdiv:v=0}u=0
Wolfgang Bangerth