Jakie są koncepcyjne różnice między metodą elementu skończonego a metodą objętości skończonej?

Istnieje oczywista różnica między różnicą skończoną a metodą objętości skończonej (przejście od definicji punktowej równań do średnich całkowitych nad komórkami). Ale uważam, że FEM i FVM są bardzo podobne; oba używają integralnej formy i średniej ponad komórkami.

Co robi metoda MES, a nie FVM? Przeczytałem trochę tła na temat MES. Rozumiem, że równania są napisane w słabej formie, co daje metodzie nieco inny punkt odniesienia niż FVM. Nie rozumiem jednak na poziomie koncepcyjnym, jakie są różnice. Czy FEM przyjmuje jakieś założenie dotyczące tego, jak nieznane zmienia się w komórce, czy nie można tego zrobić również z FVM?

Pochodzę głównie z perspektywy 1D, więc może FEM ma zalety z więcej niż jednym wymiarem?

W sieci nie znalazłem wielu informacji na ten temat. Wikipedia ma sekcję dotyczącą tego, w jaki sposób MES różni się od metody różnic skończonych, ale to o tym, http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method .

Element skończony: całki wolumetryczne, wewnętrzny porządek wielomianowy

Klasyczne metody elementów skończonych zakładają ciągłe lub słabo ciągłe przestrzenie aproksymacyjne i proszą o spełnienie całek objętościowych słabej postaci. Kolejność dokładności zwiększa się poprzez podniesienie kolejności aproksymacji w elementach. Metody te nie są do końca konserwatywne, dlatego często zmagają się ze stabilnością nieciągłych procesów.

Skończona objętość: całki powierzchniowe, strumienie z danych nieciągłych, kolejność rekonstrukcji

Metody objętości skończonych używają fragmentarycznie stałych przestrzeni aproksymacyjnych i proszą o spełnienie całek względem funkcji cząstkowej stałej. Daje to dokładne oświadczenia dotyczące ochrony. Całka objętościowa jest przekształcana na całkę powierzchniową, a cała fizyka jest określona w kategoriach strumieni w tych całkach powierzchniowych. W przypadku problemów hiperbolicznych pierwszego rzędu jest to rozwiązanie Riemanna. Strumienie eliptyczne drugiego rzędu są bardziej subtelne. Porządek dokładności jest zwiększany przez użycie sąsiadów do (zachowawczej) rekonstrukcji reprezentacji stanu wewnątrz elementów wyższego rzędu (rekonstrukcja / ograniczanie nachylenia) lub przez rekonstrukcję strumieni (ograniczenie strumienia). Proces rekonstrukcji jest zwykle nieliniowy, aby kontrolować oscylacje wokół nieciągłych cech rozwiązania, patrz metody zmniejszania całkowitej zmienności (TVD) i zasadniczo nieoscylacyjne (ENO / WENO). Nieliniowa dyskretyzacja jest konieczna, aby jednocześnie uzyskać zarówno wyższą niż dokładność pierwszego rzędu dokładność w obszarach gładkich, jak i ograniczoną całkowitą zmienność między nieciągłościami, patrzTwierdzenie Godunowa .

Komentarze

Zarówno FE, jak i FV są łatwe do zdefiniowania z dokładnością do drugiego rzędu na siatkach niestrukturalnych. W przypadku nieustrukturyzowanych siatek FE łatwiej jest wyjść poza drugi rząd. FV radzi sobie z siatkami niezgodnymi łatwiej i solidniej.

Łącząc FE i FV

Metody można łączyć na wiele sposobów. Nieciągłe metody Galerkina są metodami elementów skończonych, które wykorzystują nieciągłe funkcje bazowe, uzyskując w ten sposób solwery Riemanna i większą odporność na procesy nieciągłe (szczególnie hiperboliczne). Metody DG mogą być stosowane z ogranicznikami nieliniowymi (zwykle z pewnym zmniejszeniem dokładności), ale spełniają komórkową nierówność entropii bez ograniczania, a zatem mogą być stosowane bez ograniczania w przypadku niektórych problemów, w których inne schematy wymagają ograniczników. (Jest to szczególnie przydatne w przypadku optymalizacji opartej na łączeniach, ponieważ sprawia, że ​​łączenie dyskretne jest bardziej reprezentatywne dla równań ciągłego łączenia.) Mieszane metody FE dla problemów eliptycznych wykorzystują nieciągłe funkcje bazowe, a po niektórych wyborach kwadratury mogą być ponownie interpretowane jako standardowe metody objętości skończonych zobacz tę odpowiedźpo więcej. Metody DG rekonstrukcji (aka. lub „DG odzyskiwania”) wykorzystują zarówno konserwatywną rekonstrukcję podobną do FV, jak i wzbogacenie porządku wewnętrznego, a zatem są nadzbiorem metod FV i DG.$P_N P_M$

Różnice koncepcyjne FEM i FVM są tak subtelne, jak różnice między drzewem a sosną.

Jeśli porównasz pewien schemat MES z dyskretyzacją FVM zastosowaną do konkretnego problemu, możesz mówić o fundamentalnych różnicach, które stają się widoczne w różnych podejściach do implementacji i różnych właściwościach aproksymacyjnych (jak to określił @Jed Brown w swojej odpowiedzi).

Ale ogólnie powiedziałbym, że FVM jest szczególnym przypadkiem MES, wykorzystującym siatkę komórek i cząstkowo stałe funkcje testowe. Zależność ta jest również wykorzystywana do analizy zbieżności FVM, jak można znaleźć w książce Grossmanna, Roosa i Stynesa: Numeryczne traktowanie równań różniczkowych cząstkowych .

Podstawową różnicą jest po prostu znaczenie, jakie należy przypisać do wyników. FDM przewiduje wartości punktowe dowolnego aspektu rozwiązania. Interpolacja między tymi wartościami jest często pozostawiona wyobraźni użytkownika. FVM przewiduje średnie zachowanych zmiennych w ramach określonych objętości kontrolnych. W związku z tym przewiduje zintegrowane zachowane zmienne i można wykazać, że są zbieżne z rozwiązaniami słabymi (nieciągłymi). MES daje zestaw dyskretnych wartości, z których można wywnioskować przybliżone rozwiązanie jednoznacznie wszędzie, wywołując zestaw funkcji podstawowych. Zazwyczaj, ale niekoniecznie, zaangażowane zmienne są konserwatywne. Możliwe są metody różnic skończonych, które są w pewnym sensie konserwatywne, zgodnie z określoną zasadą kwadratury.

To są kwestie definicji. Istnieje wiele odmian wszystkich trzech metod. Nie każda metoda jest czysto jednego rodzaju, a szczegóły różnią się w zależności od obszaru zastosowania. Naukowcy wymyślający nową metodę wykorzystują narzędzia, które pomogą zapewnić właściwości, których szukają. Jak się wydaje, trudno jest znaleźć autorytatywną dyskusję i trudno byłoby mi ją przeprowadzić. Najlepsza rada, jaką mogę udzielić, to kontynuować czytanie, nie oczekując całkowicie jasnej odpowiedzi, ale dając wiarę w to, co ma dla ciebie sens.