Jak znaleźć odpowiedź impulsową systemu na podstawie jego reprezentacji w przestrzeni stanu za pomocą macierzy przejścia stanu?

15

Załóżmy, że mamy liniową reprezentację w standardowej notacji w przestrzeni stanów:

x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)
y(t)=dox(t)+reu(t)

Aby uzyskać odpowiedź impulsową, można pobrać transformatę Laplace'a

Y = C X + D U

sX=ZAX+bU
Y=doX+reU

a następnie rozwiązać dla funkcji przenoszenia, która jest

YU=do(sja-ZA)-1b+re

Podobnie, dla układu dyskretnego, transformata x [ n + 1 ] = A x [ n ] + B u [ n ] y [ n ] = C x [ n ] + D u [ n ]Z

x[n+1]=ZAx[n]+bu[n]
y[n]=Cx[n]+Du[n]

jest

YU=C(zIA)1B+D

Proces ten wydaje się nieco długi i pamiętam, że istnieje sposób na znalezienie odpowiedzi impulsowej za pomocą macierzy przejścia stanu, która jest rozwiązaniem dla pierwszych równań każdej pary. Czy ktoś wie jak to zrobić?x

Phonon
źródło

Odpowiedzi:

6

x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)

x(t)=x0eAt+0teA(tt)Bu(t)dt

x0=x(0)eAtΞ(t)x0=0y(t)

y(t)=C0tΞ(tt)Bu(t)dt+Du(t)

Ξ(t)=eAt(sIA)1

Y=C(sIA)1BU+DU

co daje taką samą funkcję transferu jak w pytaniu.


Jeśli chodzi o twój komentarz dotyczący długiego podejścia do transformacji Laplace'a, niekoniecznie powiedziałbym, że tak jest. Jednak podejście do macierzy przejścia stanu może być prostsze do wdrożenia , ponieważ kilka operacji z tym związanych można obliczyć za pomocą prostych mnożeń macierzy i nic więcej.

Lorem Ipsum
źródło
Bardzo fajny opis.
Jason R