Jak znaleźć odpowiedź impulsową systemu na podstawie jego reprezentacji w przestrzeni stanu za pomocą macierzy przejścia stanu?

Załóżmy, że mamy liniową reprezentację w standardowej notacji w przestrzeni stanów:

$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$$ $$y(t) = Cx(t) + Du(t)$$

Aby uzyskać odpowiedź impulsową, można pobrać transformatę Laplace'a

Y = C X + D

$$sX=AX+BU$$ $$Y=CX+DU$$

a następnie rozwiązać dla funkcji przenoszenia, która jest

$$\frac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B+D$$

Podobnie, dla układu dyskretnego, transformata x [ n + 1 ] = A x [ n ] + B u [ n ] y [ n ] = C x [ n ] + D u [ n $\mathcal{Z}$

$$x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]$$ $$y[n] = Cx[n] + Du[n]$$

jest

$$\frac{Y}{U}=C(zI-A)^{-1}B+D$$

Proces ten wydaje się nieco długi i pamiętam, że istnieje sposób na znalezienie odpowiedzi impulsowej za pomocą macierzy przejścia stanu, która jest rozwiązaniem dla pierwszych równań każdej pary. Czy ktoś wie jak to zrobić?$x$

$\dot{x}(t)=A x(t) + B u(t)$

$$x(t)=x_0 e^{At}+\int_{0}^te^{A(t-t')}Bu(t')dt'$$

$x_0=x(0)$$e^{At}$$\Xi(t)$$x_0=0$$y(t)$

$$y(t)=C\int_0^t\Xi(t-t')Bu(t')dt'+Du(t)$$

$\Xi(t)=e^{At}$$(sI-A)^{-1}$

$$Y=C(sI-A)^{-1}BU+DU$$

co daje taką samą funkcję transferu jak w pytaniu.

---

Jeśli chodzi o twój komentarz dotyczący długiego podejścia do transformacji Laplace'a, niekoniecznie powiedziałbym, że tak jest. Jednak podejście do macierzy przejścia stanu może być prostsze do wdrożenia , ponieważ kilka operacji z tym związanych można obliczyć za pomocą prostych mnożeń macierzy i nic więcej.