Kiedy możemy napisać zasadę niepewności Heisenberga jako równość?

Wiemy, że zasada niepewności Heisenberga stwierdza, że

Δ f Δ t \geq \frac{1}{4 π} .

$\Delta f \Delta t \geq \frac{1}{4 \pi}.$

Ale (w wielu przypadkach dla falki Morleta) widziałem, że zmienili nierówność na równość. Teraz moje pytanie brzmi: kiedy wolno nam zmienić nierówność na równość:

Δ f Δ t = \frac{1}{4 π}

$\Delta f \Delta t = \frac{1}{4 \pi}$ why =

fourier-transform wavelet resolution Elektryczny człowiek
źródło

wydaje się bardzo interesujące

data datuashvili

jak wiem, jest równe, jeśli rozkład gaussowski ma optymalny kształt, zapoznaj się z tą książką The Illustrated Wavelet Transform Handbook: Teoria wprowadzająca i zastosowania w nauce, inżynierii, medycynie i finansach

data datuashvili

link jest zepsuty, kolego, czy możesz wysłać książkę e-mailem lub wysłać inny link? mój e-mail: <[email protected]> dzięki @datodatuashvili

Electricman

Odpowiedzi:

$\Delta_t$ $\Delta_{\omega}$

$f(t)$ $F(\omega)$

\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} (t) d t = 1 (unit energy) \int_{- \infty}^{\infty} t | f (t) |^{2} d t = 0 (centered around t = 0) \int_{- \infty}^{\infty} ω | F (ω) |^{2} d ω = 0 (centered around ω = 0)

$\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt=1\quad\textrm{(unit energy)}\\ \int_{-\infty}^{\infty}t|f(t)|^2dt=0\quad\textrm{(centered around }t=0)\\ \int_{-\infty}^{\infty}\omega|F(\omega)|^2d\omega=0\quad\textrm{(centered around }\omega=0)$

Żaden z tych warunków nie stanowi ograniczenia. Wszystkie mogą być spełnione (dla sygnałów o skończonej energii) poprzez odpowiednie skalowanie, translację i modulację.

Jeśli teraz zdefiniujemy szerokości czasu i częstotliwości w następujący sposób

Δ_{t}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} t^{2} | f (t) |^{2} d t Δ_{ω}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} ω^{2} | F (ω) |^{2} d ω

$\Delta_t^2=\int_{-\infty}^{\infty}t^2|f(t)|^2dt\\ \Delta_{\omega}^2=\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2|F(\omega)|^2d\omega$

wówczas zasada nieoznaczoności stwierdza, że

\begin{matrix} (2.6.2) & Δ_{t}^{2} Δ_{ω}^{2} \geq \frac{π}{2} \end{matrix}

$\Delta_t^2\Delta_{\omega}^2\ge\frac{\pi}{2}\tag{2.6.2}$

$f(t)$ $1/\sqrt{t}$ $t\rightarrow\pm\infty$

gdzie nierówność jest zadowolona z równości dla sygnału Gaussa

\begin{matrix} (2.6.3) & f (t) = \sqrt{\frac{α}{π}} e^{- α t^{2}} \end{matrix}

$f(t)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\alpha t^2}\tag{2.6.3}$

Powyższe liczby równań odpowiadają dowodowi poniżej, który pochodzi z kodowania falek i podpasm Vetterli i Kovacevic (str.80):

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Matt L.
źródło

dzięki za matematykę, postaram się to zrozumieć. @ matt-l

Electricman

@Matt L .: Dlaczego definiujesz szerokości czasu i częstotliwości za pomocą kwadratowego współczynnika wagowego? Widziałem w szkole, że są i wariancje. Rozbieżności rozkładów mają liniowy współczynnik wagowy? Co to jest? Czy to oznacza, że ta zasada nieoznaczoności nie mówi o wariancjach funkcji i wariancji jej spektrum, ale o czymś innym?

Martijn Courteaux,

| f (t) |^{2}

$|f(t)|^2$

f (t)

$f(t)$

| f (x) |^{2}

$|f(x)|^2$

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} t^{2} f (t) d t

$\int_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)dt$

Nie mogę podać ci całej teorii stojącej za tym (ponieważ dosłownie wypełnia książki), ale okazuje się, że Heisenberg staje się dokładną równością dokładnie dla tej rodziny sygnałów:

s_{t_{0}, ω_{0}, σ, ϕ, γ} (t) = \exp (- {(\frac{t - t_{0}}{σ})}^{2} + i (ϕ + ω_{0} (t - t_{0}) + γ (t - t_{0})^{2}))

$s_{t_0,\omega_0,\sigma,\phi,\gamma}(t) = \exp\left(-\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2 + i \left(\phi + \omega_0 (t-t_0) + \gamma (t-t_0)^2\right)\right)$

gdzie wszystkie parametry są liczbami rzeczywistymi. Ta rodzina jest generowana przez kwadratowe symplektomorfizmy częstotliwościowo-czasowe z pojedynczego atomu Gabora. Te symplektomorfizmy zachowują relację niepewności Heisenberga.

$\Delta F \cdot \Delta T$ $\gamma$

Pojęcie obszaru częstotliwości czasowej można jednak uogólnić, aby zmierzyć obszar kształtów, które nie są wyrównane z osią czasu i częstotliwości. Oznacza to, że zamiast iloczynu niepewności między F i T mierzymy iloczyn minimalnej niepewności dowolnych dwóch zmiennych sprzężonych z zakresu F i T. Oszczędźę ci szczegółów, ale dla tej definicji obszaru czasowo-częstotliwościowego rodzina sygnałów daje ty minimum.

Jazzmaniac
źródło

Czyż nie jest to Gabuor Fijlter Fuonctiuons? '

Jean-Yves

Jednym z powodów, dla których „wypełnia książki” jest to, że wiele warunków wymaganych dla równości jest precyzyjnie określonych i ograniczonych (często poza wszelką użytecznością w jakimkolwiek innym kontekście, takim jak świat rzeczywisty).

hotpaw2

Pierwotnym kontekstem zasady nieoznaczoności Heisenberga była fizyka, w szczególności mechanika kwantowa, w której zmiennymi sprzężonymi są pozycja i pęd. Nie ogranicza się do analizy czas / częstotliwość.

user2718

@BZ, głosisz tutaj chór. Jestem matematykiem-fizykiem kwantowym. Jednak nie widzę tu sensu twojego komentarza ani twojej odpowiedzi.

Jazzmaniac

Zasada nieoznaczoności ustanawia teoretyczną granicę rozwiązania, więc nigdy nie jest zapisana jako równość.

Relacje równości, które napotykasz, dotyczą określonego kontekstu analizy i implementacji analizy. W tym przypadku kontekstem jest analiza sygnału, więc czas / częstotliwość są interesującymi zmiennymi sprzężonymi, a implementacja jest specyficzną zastosowaną falą.

Relacja równości zapewnia sposób porównywania rozdzielczości w różnych implementacjach analizy. Interpretując te relacje należy zachować ostrożność, ponieważ definicja rozdzielczości nie powinna, ale może się różnić.

Relacja równości jest właściwa po zdefiniowaniu dwóch rzeczy: 1) matematycznego znaczenia rozdzielczości. 2) metoda analizy (w tym przypadku wybór falki).

użytkownik2718
źródło

Jeśli zagłębisz się głębiej, zasada Heisenberga stanie się czymś więcej niż stwierdzeniem o rozdzielczości. Jest głęboko powiązany z geometrią częstotliwości czasowej w strukturze matematycznej zwanej symplektyczną nieprzemienną geometrią. Dostarcza teoretyczną miarę informacji dla informacji o częstotliwości czasowej i staje się dokładnie integralnie kwantyzowana. Możesz nawet użyć go do uogólnienia twierdzenia Shannona dla rekonstrukcji dowolnych regionów TF.

Jazzmaniac,

W mechanice kwantowej zasadą nieoznaczoności jest dowolna z różnorodnych matematycznych nierówności określających fundamentalne ograniczenie precyzji, z jaką pewne pary właściwości fizycznych cząstki znane jako zmienne komplementarne, takie jak pozycja x i pęd p, mogą być znane jednocześnie. Na przykład w 1927 r. Werner Heisenberg stwierdził, że im dokładniej określa się pozycję jakiejś cząstki, tym mniej precyzyjnie można poznać jej pęd i odwrotnie. [Wikipedia - ale nauczyłem się tego w fizyce i odwiedziłem ją ponownie na lekcjach analizy]

user2718