Dlaczego transformacja Fouriera grzebienia Dirac jest grzebieniem Dirac?

16

Nie ma to dla mnie sensu, ponieważ nierówność Heisenberga stwierdza, że $\Delta t\Delta \omega$ ~ 1.

Dlatego kiedy masz coś idealnie zlokalizowanego w czasie, dostajesz coś całkowicie rozłożonego na częstotliwość. Stąd podstawowa zależność gdzie jest operatorem transformacji Fouriera . $\mathfrak{F}\{\delta(t)\} = 1$ $\mathfrak{F}$

Ale dla grzebienia Dirac , stosując transformację Fouriera, otrzymujesz kolejny grzebień Dirac. Intuicyjnie powinieneś także uzyskać inną linię.

Dlaczego ta intuicja zawodzi?

fourier-transform Carlos - Mongoose - Danger
źródło

13

Uważam, że błędem jest wierzyć, że grzebień Diraca jest zlokalizowany w czasie. Nie dzieje się tak dlatego, że jest to funkcja okresowa i jako taka może mieć składowe częstotliwości tylko w wielokrotnościach częstotliwości podstawowej, tj. W dyskretnych punktach częstotliwości. Nie może mieć ciągłego spektrum, w przeciwnym razie nie byłby okresowy. Podobnie jak każda inna funkcja okresowa, grzebień Diraca może być reprezentowany przez szereg Fouriera, tj. Jako nieskończona suma złożonych wykładników. Każdy złożony wykładniczy odpowiada impulsowi Diraca w dziedzinie częstotliwości na innej częstotliwości. Sumowanie tych impulsów Diraca daje grzebień Diraca w dziedzinie częstotliwości.

Matt L.
źródło

Tak, żaden okresowy grzebień nie jest zlokalizowany w odpowiedniej zmiennej niezależnej (czas / częstotliwość).

Peter K.

11

Twoja intuicja zawodzi, ponieważ zaczynasz od złych założeń. Niepewność Heisenberga nie mówi tego, co myślisz. Jak już powiedziałeś w swoim pytaniu, jest to nierówność . Mówiąc dokładniej, to jest

Δ t \cdot Δ f \geq \frac{1}{4 π}

$\Delta t \cdot \Delta f \geq\frac{1}{4\pi}$

Nie ma powodu, dla którego iloczyn niepewności musi być bliski dolnej granicy dla wszystkich sygnałów. W rzeczywistości jedynymi sygnałami, które osiągają tę najniższą granicę, są atomy Gabora. W przypadku wszystkich innych sygnałów należy oczekiwać, że będzie większy, a być może nawet nieskończony.

Jazzmaniac
źródło

1

Zgadza się, ale głównym błędem jest myślenie, że grzebień Diraca jest zlokalizowany w czasie. Nie dlatego, że jest okresowy. Twierdzenie o niepewności nie mówi nic przydatnego o grzebieniu Diraca.

Matt L.

@MattL., Nie tak rozumiem oryginalne pytanie. Myślę, że faktycznie argumentuje, że pociąg Diraca jest całkowicie zdelokalizowany w swojej natywnej domenie i dlatego Fourier powinien przekształcić się w coś bardzo zlokalizowanego.

Jazzmaniac

1

OK, wygląda na to, że istnieje nieporozumienie co OP rozumie przez „inną linię”. Myślałem, że odnosi się to do płaskiego spektrum (podobnie jak spektrum impulsu Diraca, o którym wspominał wcześniej). Ale myślałeś, że odnosi się to do linii widmowej, tj. Jednej częstotliwości. Przynajmniej teraz rozumiem, jak twoja odpowiedź mogłaby odpowiedzieć na pytanie PO.

Matt L.

1

@MattL. Właściwie myślałem, że ma na myśli zwykłą graficzną reprezentację rozkładów Diraca, kiedy pisze „linię”. W każdym razie będzie musiał wyjaśnić, ponieważ pytanie można naprawdę przeczytać na co najmniej dwa różne sposoby.

Jazzmaniac,

1

cóż, „standardowa” definicja jest fizycznym stwierdzeniem dotyczącym niepewności pędu i pozycji (w szczególności odchyleń standardowych) i zawiera

. a mimo to, w tym przypadku, trzeba określić, co należy rozumieć przez „

” i „

”. ta stała (którą określasz jako

ℏ

$\hbar$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

) nie może być zbyt daleko od jedności (w skali logów), ale nie musi to być

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

chyba ze względu na specyficzne dla określenia „

” i „

”.

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

Robert Bristol-Johnson

6

elektrycy grają trochę szybko i luźno z funkcją delta Diraca, która według matematyków nie jest funkcją (a przynajmniej nie jest „zwykłą” funkcją, ale jest „rozkładem”). faktem matematycznym jest to, że jeśli $f(t)=g(t)$ „prawie wszędzie” (co oznacza przy każdej wartości $t$ oprócz licznej liczby wartości dyskretnych), to

\int f (t) d t = \int g (t) d t

$\int f(t)dt = \int g(t)dt$ .

oraz funkcje $f(t)=0$ i $g(t)=\delta(t)$ są równe, chyba że wszędzie w $t=0$ , a jednak elektrycy twierdzą, że ich całki są różne. ale jeśli odłożysz tę niewielką (i, moim zdaniem, niepraktyczną) różnicę, odpowiedź na twoje pytanie brzmi:

funkcja grzebienia Diraca
${I I I}_{T} (t) ≜ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} δ (t - k T)$ $\mathrm{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT)$ jest funkcją okresową okresu $T$ i dlatego ma szereg Fouriera: ${I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j 2 π n t / T}$ $\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{j 2 \pi n t/T}$
jeśli wyrzucisz współczynniki, $c_n$ , z serii Fouriera, otrzymasz:

\begin{aligned} c_{n} & = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} {I I I}_{T} (t) e^{- j 2 π n t / T} d t \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n t / T} d t (k = 0) \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n 0 / T} d t \\ = \frac{1}{T} \forall n \end{aligned}

$\begin{align} c_n & = \frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} \mathrm{III}_T(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \quad \quad (k=0)\\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n 0/T} dt \\ & = \frac{1}{T} \quad \quad \forall n \\ \end{align}$

więc seria Fouriera do grzebienia Dirac jest

{I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π n t / T}

$\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \ e^{j 2 \pi n t/T}$

co oznacza, że podsumowujesz garść sinusoid o jednakowej amplitudzie.

transformata Fouriera pojedynczej złożonej sinusoidy to:

F {e^{j 2 π f_{0} t}} = δ (f - f_{0})

$\mathfrak{F} \left\{ e^{j 2 \pi f_0 t} \right\} = \delta(f-f_0)$

i ta właściwość liniowości dotyczy transformacji Fouriera. resztę dowodu stanowi ćwiczenie pozostawione czytelnikowi.

Robert Bristol-Johnson
źródło

1

@Jazzmaniac, to kłamstwo. I kiedy już kiedykolwiek zostały protekcjonalny wobec matematyków? (myślę, że trochę projektujesz.) BTW, minęło 38 lat, odkąd mam 2 semestry analizy funkcjonalnej na poziomie magisterskim. nie pamiętam wszystkiego, ale na pewno pamiętam, czym jest przestrzeń metryczna, normowana przestrzeń metryczna (myślę, że czasami nazywano je „przestrzeniami Banacha”) i wewnętrznymi przestrzeniami produktu (czasami nazywanymi „przestrzeniami Hilberta”) i co funkcjonalne jest (mapy z jednego z nich na liczbę). i wiem, czym są przestrzenie liniowe. o

, nie mam nic przeciwko, że są nadzy.

δ (t)

$\delta(t)$

Robert Bristol-Johnson

Dalej podajesz niewłaściwy argument, który sugeruje matematykom, że nie dostają 1, gdy zintegrują się z dystrybucją Diraca. Cóż, nie możesz lepiej wykazać, że nie rozumiesz rozkładu Diraca, nawet jeśli wziąłeś udział w analizie funkcjonalnej. Nie wymaga inżynierów elektryków, takich jak Ty, do „naprawy” matematyki. I będę ci to powtarzał, dopóki nie przestaniesz mówić o takich matematykach. To całkowicie twój wybór.

Jazzmaniac,

to także kłamstwo, @Jazzmaniac. Mówię, że zgodne z tym, co nam mówią matematycy The Delta Diraca nie jest to funkcja (choć inżynierowie elektrycy nie martw się o tym wyróżnieniem i radzić sobie z nim tak, jakby to była funkcja), ponieważ gdyby były funkcja, która prawie wszędzie była zerowa, całka byłaby zerowa. dlaczego ciągle mnie wprowadzasz w błąd? jaki jest topór, który szlifujesz?

Robert Bristol-Johnson

@ robertbristow-johnson "inżynierowie elektrycy grają trochę szybko i swobodnie z funkcją delty Diraca." Paul Dirac był inżynierem elektrykiem. Claude Shannon był także inżynierem elektrykiem. Upominam was od takich ogólnych i niedokładnych stwierdzeń. Twierdzisz, że jesteś inżynierem elektrykiem i dobrze rozumiesz teorię dystrybucji.

Mark Viola

prawie każdy licencjacki podręcznik elektrotechniki na temat teorii układów liniowych lub sygnałów i układów lub podobnej nazwy wprowadza i traktuje Deltę Diraca jako ograniczający przypadek „powstającej delty” . np .:

lub inna funkcja impulsu powierzchniowego, którą możesz zrobić chudą. nie byłbym zaskoczony, że w opublikowanych artykułach ludzie tacy jak Shannon lub Dirac (nie wiedzieli o tym) trzymaliby się konserwatywnych faktów:

i

δ (t) = lim_{a \to 0} \frac{1}{a \sqrt{π}} e^{- t^{2} / a^{2}}

$\delta(t) = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-t^2/a^2}$

\int f (t) δ (t - τ) d t = f (τ)

$\int f(t) \delta(t-\tau) \ dt = f(\tau)$

.

δ (t) = 0 \forall t \neq 0

$\delta(t)=0 \quad \forall \ t \ne 0$

Robert Bristol-Johnnson

1

Spróbuję dać intuicję. Prawdopodobnie moglibyśmy myśleć: „Jedna delta Diraca daje nam 1 w dziedzinie częstotliwości. Teraz daję nieskończoną liczbę delt Diraca. Czy nie powinienem uzyskać wyższego prądu stałego?” Zobaczmy teraz, czy dodając wszystkie te składowe częstotliwości wymienione w grzebieniu Diraca w dziedzinie częstotliwości (FD), otrzymujemy kolejny grzebień Diraca w dziedzinie czasu (TD). Dodajemy ciągłe przebiegi i otrzymujemy delty w dyskretnych punktach. Brzmi dziwnie.

$\omega_0$ $0,\pm\omega_0,\pm2\omega_0,\pm3\omega_0$ $\cos(\omega_0 t), \cos(2\omega_0 t), \cos(3\omega_0 t)$

$t = \frac{2n\pi}{\omega_0}$

$cos(kn) ; n = 0,1,2,3,4...\infty$ $\pi$ $cos(kn)$ $cos(kn)$ $k = 2\pi$

$t=t_0 \neq 2r\pi$ $\cos(0\omega_0 t_0)[dc] + \cos(\omega_0 t_0) + \cos(2\omega _0 t_0) + \cos(3\omega_0 t_0)$ $t=t_0$ $t=\frac{2n\pi}{\omega _0}$

Subramanian TR
źródło

Dlaczego transformacja Fouriera grzebienia Dirac jest grzebieniem Dirac?

Odpowiedzi: