Jak intuicyjnie rozumieć zysk Kalmana?

Algorytm filtru Kalmana działa następująco

Zainicjuj i .$\hat{\textbf{x}}_{0|0}$$\textbf{P}_{0|0}$

Przy każdej iteracji$k=1,\dots,n$

Przepowiadać, wywróżyć

Przewidywany (a priori) stan oszacowania Przewidywana (a priori) szacunkowa kowariancja Aktualizacja

$$\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k-1|k-1} + \textbf{B}_{k} \textbf{u}_{k}$$ $$\textbf{P}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k} \textbf{P}_{k-1|k-1} \textbf{F}_{k}^{\text{T}} + \textbf{Q}_{k}$$

Innowacja lub pomiar resztkowy Innowacja (lub resztkowa) kowariancji Optymalne Kalmana przyrost Zaktualizowano oszacowanie stanu (a posteriori) Zaktualizowano (a posteriori) oszacuj kowariancję

$$\tilde{\textbf{y}}_k = \textbf{z}_k - \textbf{H}_k\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$$ $$\textbf{S}_k = \textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} + \textbf{R}_k$$ $$\textbf{K}_k = \textbf{P}_{k|k-1}\textbf{H}_k^\text{T}\textbf{S}_k^{-1}$$ $$\hat{\textbf{x}}_{k|k} = \hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{K}_k\tilde{\textbf{y}}_k$$ $$\textbf{P}_{k|k} = (I - \textbf{K}_k \textbf{H}_k) \textbf{P}_{k|k-1}$$

Wzmocnienie Kalmana reprezentuje względną wagę błędu w odniesieniu do wcześniejszego oszacowania .$K_k$$\tilde{\textbf{y}}_k$$\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$

Zastanawiam się, jak intuicyjnie zrozumieć wzór Kalmana na zysk ? Rozważ przypadek, gdy stany i wyniki są skalarne, dlaczego zysk jest większy, kiedy$K_k$

• $\textbf{P}_{k|k-1}$ jest większy

• $\textbf{H}_k$ jest większy

• $\textbf{S}_k$ jest mniejszy?

Dziękuję i pozdrawiam!

Znalazłem dobry sposób myślenia intuicyjnie wzmocnienia Kalmana . Jeśli napiszesz ten sposób$K$$K$

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{\frac {P_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

uświadomisz sobie, że względne wielkości macierzy ( ) i ( ) kontrolują zależność między zastosowaniem przez filtr szacunkowego stanu oszacowanego ( ) a pomiarem ( ).$R_k$$P_k$$x_{k}⁻$$ỹ_k$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{R_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf{H_k^{-1}}$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{P_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf 0$

Podstawienie pierwszego limitu do równania aktualizacji pomiaru

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

sugeruje, że gdy wielkość jest niewielka, co oznacza, że ​​pomiary są dokładne, oszacowanie stanu zależy głównie od pomiarów.$R$

Kiedy stan jest dokładnie znany, to jest małe w porównaniu do , a filtr najczęściej ignoruje pomiary oparte na prognozie wyprowadzonej z poprzedniego stanu ( ).$H P^⁻ H^T$$R$$x_k⁻$

Wzmocnienie Kalmana mówi ci, jak bardzo chcę zmienić swoje oszacowanie na podstawie danego pomiaru.

${\bf S}_k$ to szacunkowa macierz kowariancji pomiarów . To mówi nam o „zmienności” w naszych pomiarach. Jeśli jest duży, oznacza to, że pomiary bardzo się „zmieniają”. Twoje zaufanie do tych pomiarów jest niskie. Z drugiej strony, jeśli jest mała , zmienność jest niska, nasze zaufanie do pomiaru rośnie. Gdy jesteśmy pewni naszych pomiarów, byliśmy pewni, że uzyskane informacje są wystarczająco dobre, abyśmy mogli zaktualizować / zmienić nasze prognozy stanu. Tak więc zysk Kalmana jest wyższy.${\bf z}_k$${\bf S}_k$

${\bf P}_k$ to macierz szacowanej kowariancji stanu. To mówi nam o „zmienności” stanu, . Jeśli jest duży , oznacza to, że szacuje się, że stan bardzo się zmieni. Musisz więc mieć możliwość zmiany swoich szacunków za pomocą nowych pomiarów. W rezultacie zysk Kalmana jest wyższy.${\bf x}_k$${\bf P}_k$

I odwrotnie, jeśli jest mały, to wiesz, że twój stan nie zmienia się tak bardzo, więc nie chcesz za bardzo zmieniać swoich oszacowań za każdym razem. @ Odpowiedź Jav_Rocka mówi, że jeśli , to . Innymi słowy, zasugerował, że jeśli uważasz, że twój stan już się nie zmienia, nie próbuj już zmieniać swojego oszacowania.${\bf P}_k$${\bf P}_k \rightarrow 0$$K\rightarrow 0$

Jav_Rock ma rację. Właściwie jeśli napiszesz ten sposób$\bf{K_k}$

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{H_k^-\frac {H_kP_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

licznik ułamka oznacza niepewność propagowaną z modelu, podczas gdy oznacza niepewność z pomiaru. Tak więc wartość ułamka oznacza, jak bardzo powinniśmy ufać pomiarowi, jak wyjaśnił Jav_Rock.$\bf{R_k}$

Jeśli chodzi o , po prostu przekształca on obserwację z powrotem do stanu, ponieważ to jest stan, który chcemy zaktualizować, a nie obserwację.$\bf{H_k^-}$

Podsumowując, wzmocnienie oblicza, ile korekty powinniśmy wziąć z obserwacji i przekształcić korektę obserwacji z powrotem w korektę stanu, co prowadzi do aktualizacji oszacowania stanu:$\bf{K_k}$

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

Pracuję nad algorytmem filtru Kalmana (KF). Zauważyłem, że zysk Kalmana zajmuje się zbieżnością algorytmu z czasem, to znaczy, jak szybko algorytm koryguje i minimalizuje resztki.

Przechodząc do równania wybierz początkową wartość wzmocnienia Kalmana i zmieniaj ją od niskiej do wysokiej, co może dać ci przybliżoną wartość.