Czytałem rozdział o dyskretnych transformacjach Fouriera w książce Lyonsa - Zrozumienie cyfrowego przetwarzania sygnałów - i nie mogłem zrozumieć ostatniego akapitu o symetrii.
Istnieje dodatkowa właściwość symetrii DFT, która w tym miejscu zasługuje na wzmiankę. W praktyce czasami wymagane jest określenie DFT rzeczywistych funkcji wejściowych, w których indeks wejściowyjest zdefiniowany zarówno na wartościach dodatnich, jak i ujemnych. Jeśli ta rzeczywista funkcja wejściowa jest parzysta, tojest zawsze realny i równy; to znaczy, jeśli to prawda, następnie, jest ogólnie niezerowy i wynosi zero. I odwrotnie, jeśli prawdziwa funkcja wejściowa jest nieparzysta,, następnie wynosi zawsze zero i jest ogólnie niezerowy.
Uwaga:
- Po pierwsze, co należy rozumieć przez „nieparzysty” i „parzysty”? Podejrzewam, że to liczba próbek w sygnale wejściowym, ale to prowadzi mnie do drugiego pytania:
- Dlaczego jest zero przy rzeczywistych funkcjach wejściowych, które są parzyste, a dlaczego przy rzeczywistych funkcjach wejściowych, które są nieparzyste, jest zero i ogólnie niezerowy?
discrete-signals
dft
jakiś facet
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Parzyste i nieparzyste odnoszą się do symetrii wokółn=0 .
Nawet oznaczax[n]=x[−n] ; możesz dostać tę częśćn<0 po prostu odzwierciedlając część dla n>0 na n=0 linia.
Dziwne znaczyx[n]=−x[−n] ; możesz dostać tę częśćn<0 po prostu odzwierciedlając część dla n>0 na n=0 linię i pomnożenie jej przez −1 .
Fala cosinusowa jest parzysta, fala sinusoidalna jest dziwna.
To tylko specjalne przypadki ogólnej symetrii, które mówią
Koniugat symetryczny oznacza, że rzeczywista część jest parzysta, a część wyobrażona jest nieparzysta. Większość ludzi wie, że sygnał w domenie czasu rzeczywistego jako sprzężone spektrum symetryczne, ale też idzie w drugą stronę: sprzężony sygnał w domenie symetrycznej w czasie ma widmo o wartościach rzeczywistych.
źródło
Odpowiedź Hilmara jest oczywiście całkowicie poprawna, ale myślę, że istnieje kilka kwestii, które Lyons nie odniósł w oświadczeniu cytowanym przez OP (a może mówił o nich wcześniej i postanowił nie powtarzać się w akapicie cytowanym przez OP) .
Dyskretna transformata Fouriera (DFT) jest powszechnie opisywana jako transformacja sekwencji(x [ 0 ] , x [ 1 ] , … , x [ N- 1 ] ) o skończonej długości N.
w innej sekwencji (X[ 0 ], X[ 1 ] , … , X[ N- 1 ] ) długości
N. gdzie
Oczywiście nie w ten sposób dane są często przetwarzane w praktyce. Możemy mieć bardzo długą sekwencję próbek i dzielimy je na bloki o odpowiedniej długościN. . Obliczamy DFT z( x [ 0 ] , x [ 1 ] , … , x [ N- 1 ] ) tak jak
Teraz, kiedy Lyons mówi o ... gdzie indeks wejściowy n jest zdefiniowany zarówno na wartościach dodatnich, jak i ujemnych ... mówi o przypadku okresowym i kiedy mówi, że (rzeczywista) funkcja parzysta ma właściwośćx [ n ] = x [ - n ] , ta właściwość musi obowiązywać dla wszystkich liczb całkowitychn . Ponieważ obowiązuje również okresowość, nie tylko to mamyx [ - 1 ] = x [ 1 ]
ale x [ - 1 ] = x [ - 1 + N] = x [ N- 1 ] i podobnie x [ - n ] = x [ n ] = x [ N- n ] . Innymi słowy, prawdziwa parzysta sekwencja ( x [ 0 ] , x [ 1 ] , … , x [ N- 1 ] ) którego DFT jest rzeczywiście równą sekwencją (jak stwierdził Lyons i bardzo ładnie wyjaśniony przez Hilmara) jest koniecznością w formie
źródło
Tylko dla wyjaśnienia funkcji parzystych i nieparzystych,
Parzyste: symetryczne względem osi y Nieparzyste: symetryczne względem początku
I bez wchodzenia w szczegóły matematyczne, DFT funkcji o wartościach rzeczywistych jest symetryczna, tzn. Wynikowa funkcja Fouriera ma zarówno rzeczywiste, jak i urojone części, które są lustrzanymi odbiciami w odniesieniu do komponentu częstotliwości 0. Nie dzieje się tak w przypadku pobrania DFT złożonej funkcji.
źródło