Dyskretna symetria transformaty Fouriera

9

Czytałem rozdział o dyskretnych transformacjach Fouriera w książce Lyonsa - Zrozumienie cyfrowego przetwarzania sygnałów - i nie mogłem zrozumieć ostatniego akapitu o symetrii.

Istnieje dodatkowa właściwość symetrii DFT, która w tym miejscu zasługuje na wzmiankę. W praktyce czasami wymagane jest określenie DFT rzeczywistych funkcji wejściowych, w których indeks wejściowynjest zdefiniowany zarówno na wartościach dodatnich, jak i ujemnych. Jeśli ta rzeczywista funkcja wejściowa jest parzysta, toX(m)jest zawsze realny i równy; to znaczy, jeśli to prawdax(n)=x(-n), następnie, Xreal(m) jest ogólnie niezerowy i Ximag(m)wynosi zero. I odwrotnie, jeśli prawdziwa funkcja wejściowa jest nieparzysta,x(n)=-x(-n), następnie Xreal(m) wynosi zawsze zero i Ximag(m) jest ogólnie niezerowy.

Uwaga: X(m)=Xreal(m)+jotXimag(m)

  • Po pierwsze, co należy rozumieć przez „nieparzysty” i „parzysty”? Podejrzewam, że to liczba próbek w sygnale wejściowym, ale to prowadzi mnie do drugiego pytania:
  • Dlaczego jest Ximag(m) zero przy rzeczywistych funkcjach wejściowych, które są parzyste, a dlaczego przy rzeczywistych funkcjach wejściowych, które są nieparzyste, jest Xreal(m) zero i Ximag(m) ogólnie niezerowy?
jakiś facet
źródło
Tak, po odpowiedzi Hilmara zrozumiałem, że do tego odnosi się ten tekst.
któregoś dnia

Odpowiedzi:

8

Parzyste i nieparzyste odnoszą się do symetrii wokół n=0.

Nawet oznacza x[n]=x[n]; możesz dostać tę częśćn<0 po prostu odzwierciedlając część dla n>0 na n=0 linia.

Dziwne znaczy x[n]=x[n]; możesz dostać tę częśćn<0 po prostu odzwierciedlając część dla n>0 na n=0 linię i pomnożenie jej przez 1.

Fala cosinusowa jest parzysta, fala sinusoidalna jest dziwna.

To tylko specjalne przypadki ogólnej symetrii, które mówią

jeśli jest prawdziwy w jednej domenie, jest sprzężony symetrycznie w drugiej.

Koniugat symetryczny oznacza, że ​​rzeczywista część jest parzysta, a część wyobrażona jest nieparzysta. Większość ludzi wie, że sygnał w domenie czasu rzeczywistego jako sprzężone spektrum symetryczne, ale też idzie w drugą stronę: sprzężony sygnał w domenie symetrycznej w czasie ma widmo o wartościach rzeczywistych.

Hilmar
źródło
Ach, wyobrażenie sobie fali cosinusowej i sinusoidalnej pomogło mi zrozumieć dziwne, a nawet parzyste funkcje wejściowe. Dziękuję Ci.
któregoś dnia
7

Odpowiedź Hilmara jest oczywiście całkowicie poprawna, ale myślę, że istnieje kilka kwestii, które Lyons nie odniósł w oświadczeniu cytowanym przez OP (a może mówił o nich wcześniej i postanowił nie powtarzać się w akapicie cytowanym przez OP) .

Dyskretna transformata Fouriera (DFT) jest powszechnie opisywana jako transformacja sekwencji (x[0],x[1],,x[N.-1]) o skończonej długości N. w innej sekwencji (X[0],X[1],,X[N.-1]) długości N. gdzie

X[m]=k=0N1x[k]exp(j2πmkN), m=0,1,,N1,x[n]=1Nm=0N1X[m]exp(j2πnmN), n=0,1,,N1.
Ale te formuły można również wykorzystać, gdy m,n są poza zasięgiem [0,N.-1] a jeśli to zrobimy, dojdziemy do wniosku, że długośćN. DFT można postrzegać jako transformację z sekwencji okresowejx[] do innej sekwencji okresowejX[], obie rozciągające się do nieskończoności w obu kierunkach, i to (x[0],x[1],,x[N.-1]) i (X[0],X[1],,X[N.-1])to tylko jeden okres tych nieskończenie długich sekwencji. Zauważ, że nalegamy na tox[n+jaN.]=x[n] i X[m+jaN.]=X[m] dla wszystkich m,n, i ja.

Oczywiście nie w ten sposób dane są często przetwarzane w praktyce. Możemy mieć bardzo długą sekwencję próbek i dzielimy je na bloki o odpowiedniej długościN.. Obliczamy DFT z(x[0],x[1],,x[N.-1]) tak jak

X(0)[m]=k=0N1x[k]exp(j2πmkN), m=0,1,,N1,
DFT następnego fragmentu (x[N],x[N+1],,x[2N1]) tak jak
X(1)[m]=k=0N1x[k+N]exp(j2πmkN), m=0,1,,N1,
DFT poprzedniego fragmentu (x[-N.],x[-N.+1],,x[-1]) tak jak
X(-1)[m]=k=0N.-1x[k-N.]exp(-jot2)πmkN.), m=0,1,,N.-1,
itd., a następnie bawimy się tymi różnymi DFT różnych części, na które podzieliliśmy nasze dane. Oczywiście, jeśli dane są w rzeczywistości okresowe z okresemN., wszystkie te DFT będą takie same.

Teraz, kiedy Lyons mówi o ... gdzie indeks wejściowy n jest zdefiniowany zarówno na wartościach dodatnich, jak i ujemnych ... mówi o przypadku okresowym i kiedy mówi, że (rzeczywista) funkcja parzysta ma właściwość x[n]=x[-n], ta właściwość musi obowiązywać dla wszystkich liczb całkowitychn. Ponieważ obowiązuje również okresowość, nie tylko to mamyx[-1]=x[1] ale x[-1]=x[-1+N.]=x[N.-1]i podobnie x[-n]=x[n]=x[N.-n]. Innymi słowy, prawdziwa parzysta sekwencja (x[0],x[1],,x[N.-1])którego DFT jest rzeczywiście równą sekwencją (jak stwierdził Lyons i bardzo ładnie wyjaśniony przez Hilmara) jest koniecznością w formie

(x[0],x[1],,x[N.-1])=(x[0],x[1],x[2)],x[3)],,x[3)],x[2)],x[1])
który jest (oprócz wiodącego x[0]) palindromiczny sekwencja . Jeśli dzielisz dane na bloki długościN. i obliczanie DFT każdego bloku osobno, wówczas te osobne DFT nie będą miały właściwości symetrii opisanych powyżej, chyba że DFT jest blokiem o tej właściwości palindromowej.
Dilip Sarwate
źródło
0

Tylko dla wyjaśnienia funkcji parzystych i nieparzystych,

Parzyste: symetryczne względem osi y Nieparzyste: symetryczne względem początku

I bez wchodzenia w szczegóły matematyczne, DFT funkcji o wartościach rzeczywistych jest symetryczna, tzn. Wynikowa funkcja Fouriera ma zarówno rzeczywiste, jak i urojone części, które są lustrzanymi odbiciami w odniesieniu do komponentu częstotliwości 0. Nie dzieje się tak w przypadku pobrania DFT złożonej funkcji.

Naresh
źródło
> Parzyste: symetryczne względem osi y Nieparzyste: symetryczne względem początku. Czy możesz wyjaśnić nieco więcej, co to oznacza, być może podając przykłady funkcji, które uważasz za odpowiednio parzyste i nieparzyste? Mam wrażenie, że może twoja definicja pozwala, aby funkcja była parzysta i nieparzysta. Czy tak jest
Dilip Sarwate
Cześć Dilip, Jeśli funkcja jest odbiciem lustrzanym względem osi y, to jest parzysta. Na przykład cosinus to odbicie lustrzane względem osi Y. Jest to funkcja parzysta. W przypadku funkcji nieparzystej jest to odbicie w odniesieniu do pochodzenia. Oznacza, że ​​zastanawiasz się zarówno nad X, jak i Y. Podobnie jak funkcja sinusoidalna. Wystarczy spojrzeć na wykres i stwierdzić, czy jest to parzysta czy nieparzysta funkcja.
Naresh