Właściwości statystyczne oszacowań Kalmana w hałasie Gaussa

W przypadku liniowego modelu przestrzeni stanów z niezależnymi szumami stanu Gaussa i wyjściowymi oraz doskonałym zgadywaniem stanu początkowego, czy szacunki Kalmana mają następujące właściwości: gdzie

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}), or V a r ({\hat{x}}_{k | k}), or V a r (x_{k}) ?

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k),\text{ or }Var(\hat{x}_{k|k}),\text{ or }Var(x_k) ?$

$x_k$ jest stanem w czasie , który jest losowy $k$
$\hat{x}_{k|k}$ i są esmitatami Kalmana, tj. wyjściami filtra Kalmana. $P_{k|k}$

Czy są wzmianki o nich?

Dzięki!

kalman-filters Tim
źródło

Czy a posteriori szacowany kowariancji w czasie ? Tak naprawdę nie ma standardowej notacji, więc nie jest całkowicie jasne, co rozumiesz przez „szacunki Kalmana”.

P_{k | k}

$P_{k|k}$

k

$k$

Jason R

@Jason: tak, to jest ...

Tim

Odpowiedzi:

Poniższe dwa stwierdzenia są równoważne z powiedzeniem:

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

(1) estymator jest bezstronny ; i

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

(2) Estymator jest spójny .

Oba te warunki są konieczne, aby filtr był optymalny - tj. Najlepsze możliwe oszacowanie w odniesieniu do niektórych kryteriów. $\mathbf{x}_{k|k}$

Jeśli (1) nie jest prawdziwe, to błąd średniej kwadratowej (MSE) byłby odchyleniem powiększonym o wariancję (w przypadku skalarnym). Jasne, to jest większe niż tylko wariancja, a zatem nieoptymalne.

Jeśli (2) nie jest prawdziwe (tzn. Kowariancja obliczona przez filtr różni się od prawdziwej kowariancji), wówczas filtr również będzie nieoptymalny. Ponieważ Wzmocnienie Kalmana opiera się na obliczonym kowariancji stanu, błąd w kowariancji doprowadzi do błędu w wzmocnieniu. Błąd wzmocnienia oznacza nieoptymalne ważenie pomiarów.

(Tak się składa, że oba warunki są prawdziwe dla prawidłowo zamodelowanego filtra. Błędy w modelowaniu, takie jak model dynamiczny lub kowariancje szumu, również spowodują, że filtr nie będzie optymalny).

Źródło: Bar-Shalom , szczególnie Rozdział 5.4 na stronie 232-233.

Damien
źródło

Należy zauważyć, że NIE jest zmienną losową. Jest to stan systemu deterministyczny, który ogólnie jest zmienny w . co jest równoważne z wypowiedzeniem $x_k$ $k$

E ({\hat{x}}_{k | k}) = x_{k}

$E(\hat{x}_{k|k}) = x_k$

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

Ponadto

V a r (x_{k}) = 0

$Var(x_k) = 0$

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k})$ który, biorąc pod uwagę, że jest deterministyczny, okazuje się być równy

x_{k}

$x_k$

V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

tło

$x_k$ jest deterministycznym stanem systemu. Jest to w przeciwieństwie do szumu systemu, który przedstawiony jest w większości prac z wariancji . Co więcej, niektóre literatury modelują szum systemu za pomocą macierzy współczynników; w którym to przypadku macierz jest zastępowana przez w oszacowaniu propagacji, gdzie jest macierzą współczynnika szumu. Aby rozwinąć, reprezentację systemu w tym przypadku podaje: $w$ $Q$ $Q$ $GQG^T$ $G$

x_{k + 1} = A x_{k} + B u_{k} + G w

$x_{k+1} = Ax_k + Bu_k +Gw$

Jako odniesienie: sam artykuł Kalmana:http://160.78.24.2/Public/Kalman/Kalman1960.pdf

aiao
źródło

O ile wiem jest procesem losowym. Wariancja wynika z szumu procesowego. Dla danej realizacji jest deterministyczne.

{x_{k}}_{k = - \infty}^{\infty}

$\left \{ x_k \right \}_{k=-\infty}^{\infty}$

x_{k}

$x_k$

x_{k}

$x_k$

Royi

@Drazick Szum procesowy jest zwykle oznaczany symbolem w, z wariancją Q. xk jest stanem systemu, nie ma sensu, aby stany były losowe; szacunek z drugiej strony, jako zmienna losowa, ma sens

aiao

Jestem zmieszany: w jaki sposób być deterministyczny, jeśli dodaje się (który jest stochastyczny), aby go utworzyć? Jedynym sposobem, w jaki może być deterministyczny, jest to, że składnik stochastyczny wynosi zero, tak?

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

G w

$Gw$

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

Peter K.

@PeterK. ponieważ przyjmuje określony realizacji na każdym

w

$w$

k

$k$

aiao

Podczas gdy sam Kalman nigdy nie uważał wektora stanu za zmienną stochastyczną (myślę, że mogę to przypisać Doucetowi, ale mogę się mylić), Filtr Kalmana można wyprowadzić z reguły Bayesa. W tym przypadku wektor stanu . Zobacz Wikipedia .

x_{k | k} \sim N ({\hat{x}}_{k | k}, P_{k | k})

$\mathbf{x}_{k|k} \sim N\left( \hat{\mathbf{x}}_{k|k}, \mathbf{P}_{k|k}\right)$

Damien