Czy transformacja Laplace'a jest zbędna?

18

Transformata Laplace'a jest uogólnieniem transformaty Fouriera, ponieważ transformata Fouriera jest transformatą Laplace'a dla (tzn. jest czystą liczbą urojoną = zero rzeczywistej części ).s ss=jωss

Przypomnienie:

Transformacja Fouriera:X(ω)=x(t)ejωtdt

Przekształcenie Laplace'a:X(s)=x(t)estdt

Poza tym sygnał można dokładnie odtworzyć na podstawie transformacji Fouriera, a także transformaty Laplace'a.

Ponieważ do rekonstrukcji potrzebna jest tylko część transformaty Laplace'a (część, dla której ), reszta transformacji Laplace'a ( ) wydaje się być nieprzydatna do rekonstrukcji ...( s ) 0(s)=0(s)0

Czy to prawda?

Czy można również zrekonstruować sygnał dla innej części transformaty Laplace'a (np. Dla lub )?( s ) = 9(s)=5(s)=9

A co się stanie, jeśli obliczymy transformatę Laplace'a sygnału, a następnie zmienimy tylko jeden punkt transformaty Laplace'a i obliczymy transformatę odwrotną: czy wrócimy do pierwotnego sygnału?

Vinz
źródło
6
Dlaczego głosowanie negatywne? Nawet jeśli pytanie może zawierać fałszywe wnioski, z czym bardzo dobrze sobie poradzisz w komentarzu lub odpowiedzi. Ciche głosowanie na pytanie, na które ktoś najwyraźniej włożył trochę wysiłku, nie jest zbyt konstruktywne.
Jazzmaniac
głosowałem za pytaniem. jeśli myślę w kategoriach częstotliwości kątowej , to lubię powiedzieć, że transformata Fouriera: X ( j ω ) = - x ( t ) e - j ω t d t i transformata Laplace'a: X ( s ) = - x ( t ) e - s t d t . to jest całkiem jasne, że to to samo (trochę). ω
X(jotω)=-x(t)mi-jotωt ret
X(s)=-x(t)mi-st ret
robert bristow-johnson

Odpowiedzi:

13

Transformacja Fouriera i Laplace'a ma oczywiście wiele wspólnych cech. Są jednak przypadki, w których można użyć tylko jednego z nich lub gdy wygodniej jest użyć jednego lub drugiego.

Po pierwsze, chociaż w definicjach po prostu zamieniasz na j ω lub odwrotnie, aby przejść od jednej transformacji do drugiej, zasadniczo nie można tego zrobić, jeśli otrzymamy transformatę Laplace'a X L ( s ) lub transformatę Fouriera X F ( j ω ) funkcji. (Używam różnych wskaźników, ponieważ dwie funkcje mogą być różne dla tej samej funkcji w dziedzinie czasu). Istnieją funkcje, dla których istnieje tylko transformata Laplace'a, np. F ( t ) = e a t u ( t ) , asjotωXL.(s)Xfa(jotω)fa(t)=mizatu(t) , gdzie u ( t ) jest funkcją kroku Heaviside. Powodem jest to, że całka w definicji transformaty Laplace'a jest zbieżna tylko dla{ s } > a , co oznacza, że ​​odpowiednia całka w definicji transformaty Fouriera nie jest zbieżna, tj. Transformacja Fouriera w tym przypadku nie istnieje walizka.za>0u(t){s}>za

Xfa(jotω)XL.(jotω)fa(t)=grzech(ω0t)u(t)

s=jotωss-<t<fa(t)=grzech(ω0t)fa(t)=grzech(ωdot)/πt

s

Zobacz także tę odpowiedź na powiązane pytanie.

Matt L.
źródło
Transformacja Fouriera jest przydatnym narzędziem do analizy idealnych (nie przyczynowych, niestabilnych) układów: powiedziałbyś, że przyczynowo-stabilny?
Vinz,
@ user17604: Miałem na myśli to, co napisałem. Oczywiście można go również używać do układów przyczynowych i stabilnych (i nie idealnych). Ale jednym ważnym zastosowaniem jest analiza idealnego układu (takiego jak idealne filtry selektywne częstotliwościowo), w którym nie można zastosować transformaty Laplace'a.
Matt L.,
@MattL. Świetna odpowiedź, ale pomyślałem, że „analizowanie systemów LTI z niezerowymi warunkami początkowymi” jest mylące, w jaki sposób system LTI może mieć niezerowe warunki początkowe?
@ 0MW: Tak, prawdopodobnie powinienem powiedzieć „systemy, które w przeciwnym razie są LTI (jeśli początkowo są w stanie spoczynku)”.
Matt L.