Transformata Laplace'a jest uogólnieniem transformaty Fouriera, ponieważ transformata Fouriera jest transformatą Laplace'a dla (tzn. jest czystą liczbą urojoną = zero rzeczywistej części ).s s
Przypomnienie:
Transformacja Fouriera:
Przekształcenie Laplace'a:
Poza tym sygnał można dokładnie odtworzyć na podstawie transformacji Fouriera, a także transformaty Laplace'a.
Ponieważ do rekonstrukcji potrzebna jest tylko część transformaty Laplace'a (część, dla której ), reszta transformacji Laplace'a ( ) wydaje się być nieprzydatna do rekonstrukcji ...ℜ ( s ) ≠ 0
Czy to prawda?
Czy można również zrekonstruować sygnał dla innej części transformaty Laplace'a (np. Dla lub )?ℑ ( s ) = 9
A co się stanie, jeśli obliczymy transformatę Laplace'a sygnału, a następnie zmienimy tylko jeden punkt transformaty Laplace'a i obliczymy transformatę odwrotną: czy wrócimy do pierwotnego sygnału?
Odpowiedzi:
Transformacja Fouriera i Laplace'a ma oczywiście wiele wspólnych cech. Są jednak przypadki, w których można użyć tylko jednego z nich lub gdy wygodniej jest użyć jednego lub drugiego.
Po pierwsze, chociaż w definicjach po prostu zamieniasz na j ω lub odwrotnie, aby przejść od jednej transformacji do drugiej, zasadniczo nie można tego zrobić, jeśli otrzymamy transformatę Laplace'a X L ( s ) lub transformatę Fouriera X F ( j ω ) funkcji. (Używam różnych wskaźników, ponieważ dwie funkcje mogą być różne dla tej samej funkcji w dziedzinie czasu). Istnieją funkcje, dla których istnieje tylko transformata Laplace'a, np. F ( t ) = e a t u ( t ) , as j ω XL.( s ) Xfa( j ω ) fa( t ) = etu ( t ) , gdzie u ( t ) jest funkcją kroku Heaviside. Powodem jest to, że całka w definicji transformaty Laplace'a jest zbieżna tylko dla ℜ { s } > a , co oznacza, że odpowiednia całka w definicji transformaty Fouriera nie jest zbieżna, tj. Transformacja Fouriera w tym przypadku nie istnieje walizka.a > 0 u ( t ) R { s } > a
Zobacz także tę odpowiedź na powiązane pytanie.
źródło