Transformacja Z próbkowania w dół

12

W tym artykule lub filtrze wielowirnikowym autor ustanawia następujący związek matematyczny. Niech będzie wyjściem downsamplera takiego, żeyD

yD[n]=x[Mn]

gdzie M jest współczynnikiem próbkowania w dół. Innymi słowy, zachowujemy każdą M -tą próbkę oryginalnego sygnału. Następnie autor stwierdza, co następuje:

... transformata z yD[n] jest podana przez

YD[z]=1Mk=0M1X[z1/MWk]

gdzie Wk jest jądrem M punktowego dyskretnego przekształcenia Fouriera, mianowicie e(j2πk)/M .

Jak możemy przejść od pierwszego wyrażenia do drugiego? Jaki jest związek między DFT i transformacją Z, która pozwala na takie przejście?

Phonon
źródło

Odpowiedzi:

9

To wyprowadzenie jest trudne. Podejście sugerowane wcześniej ma wadę. Pokażę to najpierw; wtedy dam prawidłowe rozwiązanie.

Chcemy powiązać transformację obniżonego próbkowania sygnału, , z transformacją oryginalnego sygnału .Y D ( z ) = Z { x [ M n ] } Z X ( z ) = Z { x [ n ] }ZYD(z)=Z{x[Mn]}ZX(z)=Z{x[n]}

Zły kierunek

Można by po prostu podłączyć wyrażenie dla sygnału o zmniejszonej częstotliwości próbkowania do wyrażenia transformacji :Z

YD(z)=n=+x[Mn]zn

Zmiana zmiennej wydaje się oczywista:n=Mn

YD(z)=nMZx[n]zn/M

Jednak ważne jest, aby zdawać sobie sprawę, że mimo iż nowy indeks sumowania nadal działa w zakresie od do , suma jest teraz ponad 1 z M liczb całkowitych . Innymi słowy, - n

nMZ={...,2M,M,0,M,2M,...} ,

podczas gdy definicja -transform wymagaZ

n{...,2,1,0,1,2,...} .

Ponieważ nie jest to już transformacja , nie możemy napisać:Z

YD(z)=X(z1/M)

Właściwy sposób

Najpierw zdefiniujmy sygnał pociągu impulsowego „pomocnika” jako:tM[n]

tM[n]=k=+δ[nkM]={1:nMZ0:nMZ

Ta funkcja jest równa na każdą z próbek i zero w każdym innym miejscu.mln1M

Równolegle funkcję ciągu impulsów można zapisać jako:

tM[n]=1Mk=0M1ej2πkn/M

Dowód: musimy osobno rozważyć przypadki i : n M ZnMZnMZ

nMZ

tM[n]=1Mk=0M1ej2πkn/M={1Mk=0M11:nMZ1M1ej2πkn1ej2πkn/M:nMZ={1MM:nMZ1M111ej2πkn/M:nMZ={1:nMZ0:nMZ
W przypadku, gdy ,nMZ

Wróćmy teraz do pierwotnego problemu znalezienia -transformatora downsamplera:Z

YD(z)=n=+x[Mn]zn

Stosujemy podstawienie , pamiętając, że powoduje to, że sumowanie działa tylko na wielokrotnościach całkowitych M:n=Mn

YD(z)=nMZx[n]zn/M

Możemy teraz użyć powyższej funkcji impulsowego pociągnięcia, aby bezpiecznie przepisać to jako sumę wszystkich :nZ

YD(z)=n=+tM[n]x[n]zn/M

Używając powyższego sformułowania funkcji ciągu impulsów jako skończonej sumy wykładniczej, otrzymujemy:

YD(z)=n=+(1Mk=0M1ej2πkn/M)x[n]zn/M=1Mk=0M1n=+ej2πkn/Mx[n]zn/M=1Mk=0M1n=+x[n](ej2πk/Mz1/M)n

Sumowanie po prawej stronie jest sumowaniem wszystkich liczb całkowitych, a zatem jest poprawnym matematycznym -transformowanym w kategoriach . Dlatego możemy napisać:z = e - j 2 π k / M z 1 / MZz=ej2πk/Mz1/M

YD(z)=1Mk=0M1X(ej2πk/Mz1/M)

Jest to wzór na -transformator downsamplera.Z

użytkownik9037
źródło
1
Bardzo dobrze. Czytając moją wcześniejszą odpowiedź powyżej, zauważyłem również tę samą wadę, co ty.
Jason R
5

Nie widziałem wcześniej tego zapisu. Wydaje się to jednak mieć sens. -downsampler jest określony przez równanie:M

yD[n]=x[Mn]

Jego transformacji jest określony przez równanie:z

YD(z)=n=yD[n]zn=n=x[Mn]zn

Zastosuj zmianę zmiennej, pozwalając . Na zakresy sumy nie ma wpływu zmiana zmiennej, ponieważ rozciągają się na nieskończoność.n=Mn

YD(z)=n=x[n]zn/M

Podobne do wygląda transformacji siebie. Przypomnij, że jest to zdefiniowane jako:x [ n ]zx[n]

X(z)=n=x[n]zn

Bliższe przyjrzenie się, można zatem stwierdzić, następującą zależność między transformata i :x [ n ] y D [ n ]zx[n]yD[n]

YD(z)=X(z1/M)

Dlatego też, transformacji wyjściu downsampler jest ściśle związana z transformacji sygnału wejściowego, który ma się spodziewać. W dziedzinie częstotliwości, co w efekcie powodowało krotnie rozciągania treści częstotliwość sygnału.z MzzM

Ale jak przejść od powyższego równania do tego, o którym mowa w artykule? Podaje definicję w kategoriach , podczas gdy wyprowadzone przez nas wyrażenie jest funkcją . Tak więc dla konkretnej wartości , w której chcesz oszacować , najpierw (tj. Weź -ty pierwiastek ), a następnie zamień go na . Jednak wszystkie niezerowe mają różne -te pierwiastki :z z 1 / M z Y D ( z ) z 1 / MYD(z)zz1/MzYD(z)z1/Mz X ( z ) z C M MMzX(z)zCMM

{rp, rpej2πM, rpej2π2M,  , rpej2π(M1)M}

={rp, rpW, rpW2,  , rpWM1}

gdzie jest wartością jądra DFT przywołaną w twoim pytaniu, a jest tym, co definiuję jako główny -ty pierwiastek wartości zespolonej :Wkej2πk/MrpMz

rp=|z|MejzM

Oznacza to, że 'S głównego -tym korzeń otrzymuje się przez przekształcenie w postać polarnym, biorąc -tego pierwiastka jest wielkości (co jest liczbą rzeczywistą), a następnie dzieląc jest kąt, o . Otrzymane wartości wyrażają w formie biegunowej.M r pzMrpzMzzMrp

Po co męczyć się z tymi wszystkimi problemami? Ponieważ, jak zauważyłem wcześniej, mapowanie z na domenę nie jest jeden do jednego. Teraz zacznę trochę falować ręką. Dla każdej konkretnej wartości , dla której chcesz oszacować , istnieje odpowiadających punktów w które możesz odwzorować. Dlatego każdy z tych punktów w przyczynia się do odpowiadającej wartości . Następnie otrzymujesz sumę podobną do tej przedstawionej w artykule:X ( z 1 / M ) z Y D ( z ) M X ( z 1 / M ) MYD(z)X(z1/M)zYD(z)MX(z1/M)MX(z1/M)YD(z)

YD(z)=1Mk=0M1X(rp(z)Wk)

gdzie odnosi się do głównego obliczenia pierwiastkowego, które pokazałem wcześniej. W rzeczywistości, można wybrać dowolny z „s korzeni -tej jako głównego jednego; Wybrałem tę definicję, ponieważ jest najprostsza. Jeśli miałbyś właściwie i rygorystycznie wyprowadzić ten związek, uważam, że czynnik pojawia się z powodu pochodnej .rp(z)MzM1Mz1/M

W mowie matematyki uważam, że byłoby to określane jako zestaw funkcji; , gdzie i . Aby rozwinąć skład funkcji i napisać jako funkcję tylko , domenę na fragmenty jeden na jeden, odwrócimy funkcję w tych przedziałach, a następnie zsumujemy wyniki z odpowiednimi współczynnikami skalowania. Użyłem tej techniki wcześniej, aby obliczyć funkcję rozkładu prawdopodobieństwa funkcji zmiennej losowej, biorąc pod uwagę pdf oryginalnej zmiennej losowej (np. Aby uzyskać pdf z biorąc pod uwagęf ( z ) = X ( z ) g ( z ) = z 1 / M YYD(z)=f(g(z))f(z)=X(z)g(z)=z1/Mz Y D ( z ) YD(z)zYD(z) XXXpdf), ale nazwa techniki mi ucieka.

Jason R.
źródło
Bardzo miła odpowiedź.
Spacey
Dzięki. Każdy licencjonowany matematyk skuliłby się przy mojej próbie opisu (oczywiście jestem inżynierem). Nie sądzę, żeby to było bardzo jasne, ale może ktoś inny może zaproponować bardziej zrozumiałe wytłumaczenie, a może wymyślę lepszy sposób, aby to powiedzieć.
Jason R
Rozumiem pierwszą połowę, ale dla mnie sprawy stają się niewyraźne.
Spacey,
Powinienem przepisać drugą połowę, kiedy będę miał szansę. To tak naprawdę tylko standardowa technika uzyskiwania wyrażenia dla kompozycji dwóch funkcji. Muszę przypomnieć sobie szczegóły, jak to zrobić.
Jason R