W tym artykule lub filtrze wielowirnikowym autor ustanawia następujący związek matematyczny. Niech będzie wyjściem downsamplera takiego, że$y_D$

$$y_D[n] = x[Mn]$$

gdzie $M$ jest współczynnikiem próbkowania w dół. Innymi słowy, zachowujemy każdą $M$ -tą próbkę oryginalnego sygnału. Następnie autor stwierdza, co następuje:

... transformata z $y_D[n]$ jest podana przez

$$Y_D[z]=\frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1}X[z^{1/M}W^k]$$

gdzie $W^k$ jest jądrem $M$ punktowego dyskretnego przekształcenia Fouriera, mianowicie $e^{(-j2\pi k)/M}$ .

Jak możemy przejść od pierwszego wyrażenia do drugiego? Jaki jest związek między DFT i transformacją Z, która pozwala na takie przejście?

To wyprowadzenie jest trudne. Podejście sugerowane wcześniej ma wadę. Pokażę to najpierw; wtedy dam prawidłowe rozwiązanie.

Chcemy powiązać transformację obniżonego próbkowania sygnału, , z transformacją oryginalnego sygnału .Y D ( z ) = Z { x [ M n ] } Z X ( z ) = Z { x [ n ] $\mathcal{Z}$$Y_D(z) = \mathcal{Z}\{x[Mn]\}$$\mathcal{Z}$$X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\}$

Zły kierunek

Można by po prostu podłączyć wyrażenie dla sygnału o zmniejszonej częstotliwości próbkowania do wyrażenia transformacji :$\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

Zmiana zmiennej wydaje się oczywista:$n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

Jednak ważne jest, aby zdawać sobie sprawę, że mimo iż nowy indeks sumowania nadal działa w zakresie od do , suma jest teraz ponad 1 z M liczb całkowitych . Innymi słowy, - ∞ $n'$$-\infty$$\infty$

$n' \in M\mathbb{Z}=\{...,-2M,-M,0,M,2M,...\}$ ,

podczas gdy definicja -transform wymaga$\mathcal{Z}$

$n \in \{...,-2,-1,0,1,2,...\}$ .

Ponieważ nie jest to już transformacja , nie możemy napisać:$\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = X(z^{1/M})$

Właściwy sposób

Najpierw zdefiniujmy sygnał pociągu impulsowego „pomocnika” jako:$t_M[n]$

$\begin{align*} t_M[n] & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}{\delta[n-kM]} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 & : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 & : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$

Ta funkcja jest równa na każdą z próbek i zero w każdym innym miejscu.$1$$M$

Równolegle funkcję ciągu impulsów można zapisać jako:

$t_M[n] = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}$

Dowód: musimy osobno rozważyć przypadki i : n ∉ M $n \in M\mathbb{Z}$$n \notin M\mathbb{Z}$

n∉M

$$\begin{align*} t_M[n] & = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{1} && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-e^{j2\pi k n}}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} M && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-1}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 && : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$$ W przypadku, gdy ,$n \notin M\mathbb{Z}$

Wróćmy teraz do pierwotnego problemu znalezienia -transformatora downsamplera:$\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

Stosujemy podstawienie , pamiętając, że powoduje to, że sumowanie działa tylko na wielokrotnościach całkowitych M:$n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

Możemy teraz użyć powyższej funkcji impulsowego pociągnięcia, aby bezpiecznie przepisać to jako sumę wszystkich :$n \in \mathbb{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{t_M[n] x[n] z^{-n/M}}$

Używając powyższego sformułowania funkcji ciągu impulsów jako skończonej sumy wykładniczej, otrzymujemy:

$\begin{align*} Y_D(z) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{(\frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}) x[n] z^{-n/M}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{e^{j2\pi k n / M} x[n] z^{-n/M}}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[n] (e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})^{-n}}} \end{align*}$

Sumowanie po prawej stronie jest sumowaniem wszystkich liczb całkowitych, a zatem jest poprawnym matematycznym -transformowanym w kategoriach . Dlatego możemy napisać:z ′ = e - j 2 π k / M z 1 /$\mathcal{Z}$$z'=e^{-j2\pi k / M} z^{1/M}$

$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{X(e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})}$

Jest to wzór na -transformator downsamplera.$\mathcal{Z}$

Nie widziałem wcześniej tego zapisu. Wydaje się to jednak mieć sens. -downsampler jest określony przez równanie:$M$

$$y_D[n] = x[Mn]$$

Jego transformacji jest określony przez równanie:$z$

$$\begin{align} Y_D(z) &= \sum_{n=-\infty}^\infty y_D[n]z^{-n} \\ &= \sum_{n=-\infty}^\infty x[Mn] z^{-n} \end{align}$$

Zastosuj zmianę zmiennej, pozwalając . Na zakresy sumy nie ma wpływu zmiana zmiennej, ponieważ rozciągają się na nieskończoność.$n' = Mn$

$$Y_D(z) = \sum_{n'=-\infty}^\infty x[n']z^{-n'/M}$$

Podobne do wygląda transformacji siebie. Przypomnij, że jest to zdefiniowane jako:x [ n $z$$x[n]$

$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]z^{-n}$$

Bliższe przyjrzenie się, można zatem stwierdzić, następującą zależność między transformata i :x [ n ] y D [ n $z$$x[n]$$y_D[n]$

$$Y_D(z) = X\left(z^{1/M}\right)$$

Dlatego też, transformacji wyjściu downsampler jest ściśle związana z transformacji sygnału wejściowego, który ma się spodziewać. W dziedzinie częstotliwości, co w efekcie powodowało krotnie rozciągania treści częstotliwość sygnału.z $z$$z$$M$

Ale jak przejść od powyższego równania do tego, o którym mowa w artykule? Podaje definicję w kategoriach , podczas gdy wyprowadzone przez nas wyrażenie jest funkcją . Tak więc dla konkretnej wartości , w której chcesz oszacować , najpierw (tj. Weź -ty pierwiastek ), a następnie zamień go na . Jednak wszystkie niezerowe mają różne -te pierwiastki :z z 1 / M z Y D ( z ) z 1 /$Y_D(z)$$z$$z^{1/M}$$z$$Y_D(z)$$z^{1/M}$z X ( z ) z ∈ C M M$M$$z$$X(z)$$z \in \mathbb{C}$$M$$M$

$$\left\{ r_p,\ r_p e^{\frac{j2\pi}{M}},\ r_p e^{\frac{j2\pi2}{M}},\ \ldots\ ,\ r_p e^{\frac{j2\pi(M-1)}{M}} \right\}$$

$$= \left\{ r_p,\ r_p W,\ r_p W^{2},\ \ldots\ ,\ r_p W^{M-1} \right\}$$

gdzie jest wartością jądra DFT przywołaną w twoim pytaniu, a jest tym, co definiuję jako główny -ty pierwiastek wartości zespolonej :$W_k$$e^{j2\pi k / M}$$r_p$$M$$z$

$$r_p = \sqrt[M]{|z|} e^{\frac{j\angle{z}}{M}}$$

Oznacza to, że 'S głównego -tym korzeń otrzymuje się przez przekształcenie w postać polarnym, biorąc -tego pierwiastka jest wielkości (co jest liczbą rzeczywistą), a następnie dzieląc jest kąt, o . Otrzymane wartości wyrażają w formie biegunowej.M r $z$$M$$r_p$$z$$M$$z$$z$$M$$r_p$

Po co męczyć się z tymi wszystkimi problemami? Ponieważ, jak zauważyłem wcześniej, mapowanie z na domenę nie jest jeden do jednego. Teraz zacznę trochę falować ręką. Dla każdej konkretnej wartości , dla której chcesz oszacować , istnieje odpowiadających punktów w które możesz odwzorować. Dlatego każdy z tych punktów w przyczynia się do odpowiadającej wartości . Następnie otrzymujesz sumę podobną do tej przedstawionej w artykule:X ( z 1 / M ) z Y D ( z ) M X ( z 1 / M ) $Y_D(z)$$X(z^{1/M})$$z$$Y_D(z)$$M$$X(z^{1/M})$$M$$X(z^{1/M})$$Y_D(z)$

$$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M-1} X(r_p(z)W^k)$$

gdzie odnosi się do głównego obliczenia pierwiastkowego, które pokazałem wcześniej. W rzeczywistości, można wybrać dowolny z „s korzeni -tej jako głównego jednego; Wybrałem tę definicję, ponieważ jest najprostsza. Jeśli miałbyś właściwie i rygorystycznie wyprowadzić ten związek, uważam, że czynnik pojawia się z powodu pochodnej .$r_p(z)$$M$$z$$M$$\frac{1}{M}$$z^{1/M}$

W mowie matematyki uważam, że byłoby to określane jako zestaw funkcji; , gdzie i . Aby rozwinąć skład funkcji i napisać jako funkcję tylko , domenę na fragmenty jeden na jeden, odwrócimy funkcję w tych przedziałach, a następnie zsumujemy wyniki z odpowiednimi współczynnikami skalowania. Użyłem tej techniki wcześniej, aby obliczyć funkcję rozkładu prawdopodobieństwa funkcji zmiennej losowej, biorąc pod uwagę pdf oryginalnej zmiennej losowej (np. Aby uzyskać pdf z biorąc pod uwagęf ( z ) = X ( z ) g ( z ) = z 1 / M$Y_D(z) = f(g(z))$$f(z) = X(z)$$g(z) = z^{1/M}$z Y D ( z ) $Y_D(z)$$z$$Y_D(z)$$\sqrt{X}$$X$pdf), ale nazwa techniki mi ucieka.