Kowariancja a autokorelacja

13

Próbuję dowiedzieć się, czy istnieje bezpośredni związek między tymi pojęciami. Ściśle z definicji wydają się ogólnie różnymi pojęciami. Im więcej o tym myślę, tym bardziej myślę, że są bardzo podobne.

Niech będą losowymi wektorami WSS. Kowariancja, , jest dana przez gdzie oznacza pustelnik wektora.X,YdoXY

doXY=mi[(X-μx)(Y-μy)H.]
H.

Niech będzie losowym wektorem WSS. Funkcja autokorelacji, , podana jest przezZRXX

RZZ(τ)=mi[(Z(n)-μz)(Z(n+τ)-μz)H.]

Edytuj notatkę Istnieje poprawka do tej definicji stosowanej do przetwarzania sygnałów, patrz odpowiedź Matta poniżej.

Kowariancja nie obejmuje pojęcia czasu, zakłada, że ​​każdy element wektora losowego jest inną realizacją jakiegoś generatora losowego. Autokorelacja zakłada, że ​​losowy wektor jest ewolucją w czasie jakiegoś początkowego losowego generatora. Jednak ostatecznie oba są tym samym matematycznym bytem, ​​ciągiem liczb. Jeśli pozwolisz , pojawi się Czy jest coś bardziej subtelnego, czego mi brakuje?X=Y=Z

doXY=RZZ

dzwonek
źródło
Definicja autokorelacji jest niepoprawnie podana w pytaniu, jak zauważył MattRZZ(τ)
ijuneja,

Odpowiedzi:

12

Zgodnie z twoją definicją autokorelacji, autokorelacja jest po prostu kowariancją dwóch zmiennych losowych i . Ta funkcja jest również nazywana autokowariancją .Z ( n + τ )Z(n)Z(n+τ)

Nawiasem mówiąc, w przetwarzaniu sygnału autokorelacja jest zwykle definiowana jako

RXX(t1,t2))=mi{X(t1)X(t2))}

tzn. bez odejmowania średniej. Autokowariancja jest podawana przez

doXX(t1,t2))=mi{[X(t1)-μX(t1)][X(t2))-μX(t2))]}

Te dwie funkcje są powiązane przez

doXX(t1,t2))=RXX(t1,t2))-μX(t1)μX(t2))
Matt L.
źródło
Jeśli spojrzymy na jako zmienną, to autokorelacja staje się funkcją tej „przerwy czasowej”, która może dostarczyć bardzo interesujących informacji o zestawie danych. Spójrz na związek między autokorelacją, dyskretnymi transformacjami Fouriera i twierdzeniem Wienera – Khinchina. τ
PhilMacKay
@PhilMacKay: Jasne, ale to działa tylko w przypadku procesów WSS. Podałem definicje ogólnego przypadku, w którym procesy niekoniecznie są stacjonarne.
Matt L.
Tak, tak naprawdę niestacjonarne procesy mogą być denerwujące dla analizy danych, dlatego zawsze staram się usuwać trendy z danych przed użyciem moich ukochanych narzędzi statystycznych! Nie zawsze jest to jednak możliwe ...
PhilMacKay
0

Zauważ, że twoja definicja autokorelacji zawiera dodatkowy termin , który określa przesunięcie od dwóch sekwencji liczby Z ( n ) i Z ( n + τ ) . W rzeczywistości zapis ten sugeruje, że R Z Z ( τ ) jest funkcją ciągłą zdefiniowaną dla dowolnego τ R + , podczas gdy C X Y jest skalarem.τZ(n)Z(n+τ)RZZ(τ)τR+doXY

X=Y=Zτ=0RZZ(τ)

Z mojego osobistego doświadczenia (astrofizyka, różne przetwarzanie czujników) kowariancję wykorzystano jako współczynnik do sprawdzenia podobieństwa dwóch zestawów danych, a autokorelację wykorzystano do scharakteryzowania odległości korelacji, to znaczy, jak szybko dane ewoluują i stają się kolejnymi danymi całkowicie.

PhilMacKay
źródło