Próbuję dowiedzieć się, czy istnieje bezpośredni związek między tymi pojęciami. Ściśle z definicji wydają się ogólnie różnymi pojęciami. Im więcej o tym myślę, tym bardziej myślę, że są bardzo podobne.
Niech będą losowymi wektorami WSS. Kowariancja, , jest dana przez gdzie oznacza pustelnik wektora.
Niech będzie losowym wektorem WSS. Funkcja autokorelacji, , podana jest przez
Edytuj notatkę Istnieje poprawka do tej definicji stosowanej do przetwarzania sygnałów, patrz odpowiedź Matta poniżej.
Kowariancja nie obejmuje pojęcia czasu, zakłada, że każdy element wektora losowego jest inną realizacją jakiegoś generatora losowego. Autokorelacja zakłada, że losowy wektor jest ewolucją w czasie jakiegoś początkowego losowego generatora. Jednak ostatecznie oba są tym samym matematycznym bytem, ciągiem liczb. Jeśli pozwolisz , pojawi się Czy jest coś bardziej subtelnego, czego mi brakuje?
źródło
Odpowiedzi:
Zgodnie z twoją definicją autokorelacji, autokorelacja jest po prostu kowariancją dwóch zmiennych losowych i . Ta funkcja jest również nazywana autokowariancją .Z ( n + τ )Z( n ) Z( n + τ)
Nawiasem mówiąc, w przetwarzaniu sygnału autokorelacja jest zwykle definiowana jako
tzn. bez odejmowania średniej. Autokowariancja jest podawana przez
Te dwie funkcje są powiązane przez
źródło
Zauważ, że twoja definicja autokorelacji zawiera dodatkowy termin , który określa przesunięcie od dwóch sekwencji liczby Z ( n ) i Z ( n + τ ) . W rzeczywistości zapis ten sugeruje, że R Z Z ( τ ) jest funkcją ciągłą zdefiniowaną dla dowolnego τ ∈ R + , podczas gdy C X Y jest skalarem.τ Z( n ) Z( n + τ) RZZ( τ) τ∈ R+ doXY
Z mojego osobistego doświadczenia (astrofizyka, różne przetwarzanie czujników) kowariancję wykorzystano jako współczynnik do sprawdzenia podobieństwa dwóch zestawów danych, a autokorelację wykorzystano do scharakteryzowania odległości korelacji, to znaczy, jak szybko dane ewoluują i stają się kolejnymi danymi całkowicie.
źródło