Kiedy interpolacja splajnu sześciennego jest lepsza niż wielomian interpolujący?

Poniższy wątek stanowi niewielką odmianę przykładu z podręcznika. Autor wykorzystał ten przykład, aby zilustrować, że wielomian interpolujący w próbkach o równych odstępach ma duże oscylacje w pobliżu końca przedziału interpolacji. Oczywiście interpolacja splajnu sześciennego daje dobre przybliżenie w całym przedziale. Przez lata uważałem, że należy unikać interpolacji wielomianowej wysokiego rzędu w równo rozmieszczonych próbkach z przedstawionego tutaj powodu.

Jednak ostatnio znalazłem wiele przykładów sygnałów z ograniczeniem pasma, w których wielomian interpolacyjny wysokiego rzędu daje mniejszy błąd aproksymacji niż interpolacja sześcienna-splajn. Zazwyczaj wielomian interpolacyjny jest dokładniejszy w całym przedziale interpolacji, gdy częstotliwość próbkowania jest wystarczająco wysoka. Wydaje się, że dzieje się tak, gdy próbki są równo rozmieszczone z częstotliwością próbkowania co najmniej 3 razy większą niż częstotliwość Nyquista sygnału. Ponadto przewaga nad interpolacją splajnu sześciennego poprawia się wraz ze wzrostem (częstotliwość próbkowania) / (częstotliwość Nyquista).

Jako przykład porównuję interpolację sześcienno-splajnową z interpolującym wielomianem dla fali sinusoidalnej o częstotliwości Nyquista 2 Hz i częstotliwości próbkowania 6,5 ​​Hz. Między punktami próbkowania wielomian interpolujący wygląda dokładnie tak samo jak rzeczywisty sygnał.

Poniżej porównuję błąd w dwóch przybliżeniach. Podobnie jak w pierwszym przykładzie, interpolacja wielomianowa najgorzej działa na początku i na końcu przedziału próbkowania. Jednak wielomian interpolujący ma mniej błędów niż splajn sześcienny w całym okresie próbkowania. Wielomian interpolacyjny ma również mniejszy błąd podczas ekstrapolacji w małym odstępie czasu. Czy odkryłem dobrze znany fakt? Jeśli tak, to gdzie mogę o tym przeczytać?

Omawiane zjawisko jest fenomenem Runge .

Maksymalna wartość bezwzględna $n$pochodna $\sin(\omega t)$ jest $\omega^n$. Dla funkcji Runge $\frac{1}{25t^2+1}$ maksymalna wartość bezwzględna $n$pochodną (parzystą) jest $5^nn!,$ gdzie $n!$oznacza silnię. To jest znacznie szybszy wzrost. Tylko jeśli pochodne rosną zbyt szybko, zwiększając$n$, wówczas możliwe jest, że błąd interpolacji będzie rozbieżny w miarę zwiększania kolejności interpolacji. Wykładniczy w$n$nie jest jeszcze za szybki. Spójrz na: James F. Epperson, Na przykładzie Runge , The American Mathematical Monthly , vol. 94, 1987, s. 329–341.

Jeśli funkcja ma tylko ciągłe pochodne, wówczas podejście konkurencyjne, interpolacja wielomianowa wielowymiarowa w kawałkach zawsze jest zbieżna, jeśli niewielka stała liczba jej wczesnych pochodnych jest ograniczona w przedziale zainteresowania, patrz przykład Wikipedii na temat interpolacji liniowej .

Jeśli obie metody są zbieżne, wówczas (niepodzielna) interpolacja wielomianowa ma tę zaletę, że ma wyższy stopień wielomianu, jeśli użytych jest wiele próbek, i może zapewnić lepsze przybliżenie, jak widzieliśmy na przykładzie sinusoidy. Możesz być także zainteresowany LN Trefethen, Dwa wyniki interpolacji wielomianowej w równo rozmieszczonych punktach , Journal of Approximation Theory Volume 65, Issue 3, June 1991, Pages 247-260. Zacytować:

[...] w ograniczonej pasmowo interpolacji złożonych funkcji wykładniczych $e^{i\alpha x}\, (\alpha \in \mathbb{R}),$ błąd zmniejsza się do $0$ tak jak $n \to \infty$ wtedy i tylko wtedy gdy $\alpha$ jest wystarczająco mały, aby zapewnić co najmniej sześć punktów na długość fali.

Masz 6,5 próbek na długość fali.