W jaki sposób

9

Jestem nowicjuszem w DSP i mam kilka wątpliwości dotyczących transformacji i jej regionu konwergencji (ROC).Z

Wiem, co to jest matematyczna transformacjaAle mam problem ze zrozumieniem ROC. Przede wszystkim mylę się z i . Łatwo mnie złapią, wymieniając te warunki. Wiem, że ROC określa region, w którym istnieje transformacjaZ sieci i moich książek wynika, że:ZX(z)x(z)Z

Jeśli jest sekwencją o skończonym czasie trwania, wówczas ROC jest całościąx[n]z -plane, z wyjątkiem możliwiez=0 lub |z|=. Sekwencja o skończonym czasie trwania jest sekwencją niezerową w skończonym przedzialen1nn2

A później mówi:

Kiedy n2>0 nastąpi z1 termin, a zatem ROC nie będzie obejmował z=0. Kiedyn1<0 wówczas suma będzie nieskończona, a zatem ROC nie uwzględni |z|=.

Tu utknąłem! Co próbują powiedzieć w powyższym wierszu „ Kiedyn2>0 nastąpi z1 termin, a zatem ROC nie będzie obejmował z=0„Co mają na myśli z=0? Czy oni zastępują?z tak jak 0, jeśli tak, w jakim równaniu?

Jak obliczyć region konwergencji dla nieskończonej sekwencji?

Mrówki
źródło
1
Będzie miło spojrzeć na to z kilku różnych perspektyw ...
Matt M.,

Odpowiedzi:

5

Szczerze mówiąc, myślałem, że teoria transformacji Z była również trochę nieprzejrzysta na studiach. Z perspektywy czasu kurs złożonej analizy uczyniłby to bardziej zrozumiałym. Ja też nie lubię konwencji notacyjnych, które wydają się być używane do tego rodzaju rzeczy. Ściśle mówiąc, typową konwencją jest tutaj

  • x[n] oznacza sekwencję czasu dyskretnego
    • nZ
    • nawiasy oznaczają dyskretny argument
  • X(z) oznacza przekształconą funkcję o ciągłej wartości
    • zC (jest liczbą zespoloną)
    • nawiasy oznaczają funkcję przyjmującą parametr o wartości ciągłej
    • stolica X oznacza przekształconą wersję innej funkcji / sekwencji x (podobna notacja jest używana dla transformacji Fouriera: F(jω)f(t)

Co rozumieją przez z = 0? Czy podstawiają z jako 0, jeśli tak, w jakim równaniu?

To znaczy, po prostu podłącz z=0 do twojej zwykłej definicji transformaty Z.

X(z)=n=x[n]zn

Ogólnie (dokładniej kiedy x[n]0 dla niektórych n0), suma ta będzie się różnić (do nieskończoności) dla niektórych kompleksów z. Na przykład pozwólx[0]=1,x[1]=1, i x[n]=0 dla n<0 i n>1. NastępnieX(z)=1+z1. ROC nie obejmujez=0, dla limz0X(z)=

Kiedy w tekście jest napisane: „ Gdy , będzie to a zatem ROC nie będzie zawieraćn2>0z1z=0 ”, co to oznacza, gdy jest niezerowe dla niektórych , nieuniknione jest, aby transformacja z zawierała termin , który rozbiega się do nieskończoności przy . To wszystko.x[n]n>0znz=0

Jak obliczyć region konwergencji dla nieskończonej sekwencji?

Dużo matematyki. Ha!

srsly, sposób, w jaki się to robi, polega na uzyskaniu formuły algebraicznej dla danej sekwencji, podłączeniu jej do definicji transformacji Z i użyciu narzędzi dostępnych z analizy szeregów geometrycznych (i złożonych szeregów mocy), aby ustalić, gdzie to Z -transform zbieżne / rozbieżne. W praktyce ustalanie, czy|z|=1 zbieżne jest najważniejszym pytaniem, na które należy odpowiedzieć, ponieważ określa ono stabilność oraz to, czy można uzyskać odpowiedź częstotliwościową z systemu itp. Ale przyczynowość może również mieć znaczenie, w zależności od tego, co robisz.

rtollert
źródło
co rozumiesz przez The ROC does not includes z=0, for limz→0X(z)=∞Skoro z ^ -0 nie pojawiło się w X (z), to mówi to oświadczenie?
Ant
1
@ Ant's (myślę, że OP dokładnie pyta, czym jest dokładnie „z”?) Więc w zasadzie Ant, AFAIK, z=e(j2πffs). Zasadniczo transformacja Z jest analogiczna do dyskretnej transformaty Fouriera. (DFT). W przypadku wielu analiz kontrolnych, gdzie chcą spojrzeć na stabilność, zwykle po prostu zastępują ten złożony wykładniczy „z”, aby ułatwić pracę.
Spacey,