„Transformacja Fouriera nie może mierzyć dwóch faz przy tej samej częstotliwości.” Dlaczego nie?

15

Czytałem, że transformata Fouriera nie może rozróżniać składników o tej samej częstotliwości, ale innej fazie. Na przykład w Mathoverflow lub xrayphysics , gdzie otrzymałem tytuł mojego pytania: „Transformacja Fouriera nie może zmierzyć dwóch faz przy tej samej częstotliwości”.

Dlaczego to prawda matematycznie?

Matematyka oszołomiona
źródło
5
Czy potrafisz rozróżnić składniki, powiedzmy ? Założę się, że nie możesz. sin(x)+sin(x+c)
Ilmari Karonen,
FT znajduje komponenty, które można dodać razem, aby zrekonstruować dany sygnał. Ale to nie znaczy, że te elementy były w jakiś sposób obecne w oryginale. Istnieje nieskończenie wiele różnych sposobów, w których dany sygnał mógł zostać „skonstruowany”, ale sygnał będzie miał tylko jeden unikalny FT.
Solomon Slow

Odpowiedzi:

30

Jest tak, ponieważ jednoczesna obecność dwóch sygnałów sinusoidalnych o tej samej częstotliwości i różnych fazach jest w rzeczywistości równoważna pojedynczemu sinusoidalnemu o tej samej częstotliwości, ale z nową fazą i amplitudą, jak następuje:

Niech dwa sinusodialne składniki zostaną zsumowane w następujący sposób:

x(t)=acos(ω0t+ϕ)+bcos(ω0t+θ)

Następnie z manipulacji trygonometrycznych można wykazać, że:

x(t)=Acos(ω0t+Φ)

gdzie

A=a2+b2+2abcos(θϕ)
i
Φ=tan1(asin(ϕ)+bsin(θ)acos(ϕ)+bcos(θ))

dlatego faktycznie masz pojedynczy sinusoidalny (z nową fazą i amplitudą), a zatem nic nie można odróżnić ...

Fat32
źródło
1
Mój mózg musi być wyłączony, ponieważ śledzę tryby wyzwalania, ale wciąż wiruje wokół zamieszanie. OP nie dzień, w którym zostały dodane, więc co uzasadnia początkowy krok, w którym je dodajesz? Innymi słowy, jeśli pomyślimy o nich jako o dwóch sygnałach, w których jeden zaczyna się „później” niż drugi, ale nie dodaje się ich, czy możemy je rozróżnić? Czy musisz je dodać, ponieważ nie możesz mieć dwóch punktów danych na jednej częstotliwości? Dzięki.
mark leeds
2
@markleeds, OP nie powiedział, że odnosi się do okienkowej transformaty Fouriera, a podane linki wyraźnie wskazują na zwykłą wersję bez okien. W zwykłej wersji analizy Fouriera przyjmuje się, że sygnały składają się jako ważona suma sinusoidów o różnej fazie. Analiza polega na uzyskaniu tych wag i faz. Ich zbiorem jest spektrum. Jeśli połączysz 2 sinusoidy, ta globalna analiza Fouriera również nie rozróżni ich fazy. Jednak okienkowa transformata Fouriera jest przeznaczona do takiego zadania ... nie dlatego, że robi to znakomicie dobrze.
Stefan Karlsson,
1
Jak sugerował mój komentarz, warto wspomnieć o okienkowej transformacie Fouriera. Jeśli @ Fat32 ma czas, może wspomnieć o nieciągłości związanej z konkatenacją 2 sinusoid o różnej częstotliwości i dlaczego otrzymujemy szereg pozornie losowych częstotliwości dodanych do globalnej transformacji Fouriera, jeśli spróbujemy to przeanalizować.
Stefan Karlsson,
2
Cześć @markleeds, jak już wskazał StefanKarlsson, pytanie dotyczyło przypadku superpozycji (jednoczesnej obecności addytywnej) tych dwóch sinusoidów o tej samej częstotliwości. Zwróć uwagę, że faza jest terminem względnym, a nie absolutnym; tzn. mierzy się w odniesieniu do wybranego wspólnego początku (czasu), który wynosi powyżej. Konkatenacji (jak w) kluczowanie z przesunięciem fazy pozwala okienkiem z dyskryminacją, ale należy jeszcze odnieść się do wspólnego pochodzenia czas, aby powiedzieć różnic fazowych tak. Dlatego odbiorniki PSK wymagają ścisłej synchronizacji czasu impulsu ;-)t=0
Fat32
1
@smsc ma ochotę się powtórzyć, ale jeśli wyjście tych dwóch kabli zostanie dodane, a następnie przeanalizowane za pomocą FT, zobaczysz pojedynczą falę sinusoidalną z fazą kompozytową i wzmacniaczem ... Ale jeśli nie dodasz ich i nie przeanalizujesz osobno, wtedy będziesz w stanie powiedzieć ich względne fazy ... I to nie jest związane z DFT.
Fat32
1

Jeśli przeczytasz dalej, aż do „ Uproszczonej wersji transformacji Fouriera, którą omówiliśmy powyżej, nie można uwzględnić przesunięć fazowych - w jaki sposób transformacja Fouriera faktycznie to robi?” zauważysz nieco lepsze wyjaśnienie, używają sinusów i cosinusów.

Matematyka przesunięć fazowych (opcjonalnie) .

Aby zobaczyć, w jaki sposób przesunięcie fazowe można podzielić na nieprzekształcone sinusy i cosinusy, potrzebujemy tożsamości trygonometrycznej: sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin ( b).

A * sin (2 * π * f * t + φ) = A * cos (φ) * sin (2 * π * f * t) + A * sin (φ) * cos (2 * π * f * t)

Jak widać przesunięcie fazowe przenosi część amplitudy (energii) sygnału sinusoidalnego na sygnał cosinusowy, ale częstotliwość się nie zmienia. Jeśli użyć kompleks reprezentacja numer transformacji Fouriera, przesunięcie fazowe po prostu reprezentuje obrót wartości w płaszczyźnie zespolonej, przy niezmienionej wielkości. Fakt, że przesunięcia fazowe przenoszą tylko amplitudę z sinusoidy na cosinus, oznacza, że ​​dodanie dwóch sygnałów o tej samej częstotliwości i różnej fazie daje sygnał z całkowitym (średnim) przesunięciem fazowym na tej częstotliwości - i nie ma pamięci komponentów. ”.

W praktyce jest to bardziej skomplikowane, patrz „ Techniki częściowej Fouriera ”, „ Symetria sprzężona z fazą ” i „ FOV i k-space ”. W „ Wprowadzenie do kodowania fazowego - ja ” wyjaśniają:

„... gdy dwie fale sinusoidalne (A i B) o tej samej częstotliwości, ale różnych fazach są sumowane, powstaje kolejna fala sinusoidalna o tej samej częstotliwości, ale innej fazie. Kiedy fale sinusoidalne są blisko siebie w fazie, konstruktywnie przeszkadzają, a gdy są poza fazą, niszczą destrukcyjnie.

... Patrząc tylko na ich sumę, po prostu widać falę sinusoidalną o określonej częstotliwości i fazie. To niemożliwe z tego singla obserwacji uporządkowanie poszczególnych wkładów fal A i B.

Jednak poprzez dokonanie dwóch obserwacji z przesunięciem A i B o różne fazy, można określić ich indywidualny wkład, patrząc tylko na ich sumy. Jest to zilustrowane poniżej na obrazie MR, gdzie A i B to dwa piksele w tej samej pionowej kolumnie rezonującej z tą samą zakodowaną częstotliwością (ω). W szczególności w etapie 0 (linia bazowa, gdy nie zastosowano gradientu kodującego fazę) można zapisać całkowity sygnał z A&B: Więc (t) = A sin ωt + B sin ωt = (A + B) sin ωt.

Apply a phase encoding gradient to dephase spins along the vertical axis

...

Na podstawie tego pojedynczego pomiaru w kroku 1 nadal nie znamy poszczególnych amplitud A i B, a jedynie ich różnicę (A-B). Korzystając z informacji z kroku 0 i kroku 1 razem, jesteśmy w stanie wyodrębnić unikalny wkład sygnału za pomocą prostej algebry:

½ [So + S1] = ½ [(A + B) + (A − B)] = A    i    ½ [So - S1] = ½ [(A + B) - (A − B)] = B

„.

W przeciwnym razie wyglądałoby to tak (obrazek A):

Effect of SDPS on PFI image

PFI pokazuje artefakty z różnych algorytmów: (A) algorytm podstawowy, (B) algorytm BAX, (C) algorytm zerowego wypełnienia, (D) podstawowy algorytm wykorzystujący dane, które miały wcześniej stałą, liniową korektę SDPS, ilustrujący artefakty z SDPS wyższego rzędu.

Obrabować
źródło
1

Pisanie może być nieco jaśniejsze dosałata(ωt+ϕ) tak jak Rmi(domi(ωt+ϕ)ja). PotemRmi dystrybuuje nad dodawaniem, do1sałata(ωt+ϕ1)+do2)sałata(ωt+ϕ2))=Rmi(do1mi(ωt+ϕ1)ja+do2)mi(ωt+ϕ2))ja). Możemy rozliczyćzamiωtjai dostajemy Rmi(miωtja(do1miϕ1ja+do2)miϕ2)ja)). To pokazuje, że gdy mamy do czynienia z dwoma sygnałami o tej samej częstotliwości, możemy oddzielić część zależną od czasu, pozostawiając każdy sygnał charakteryzujący się stałym składnikiem, i oczywiście, biorąc pod uwagę transformatę Fouriera, stałe wyrażenia mogą być rozebrane. Możemy to jeszcze zauważyć domiϕja można interpretować jako wektor w złożonej płaszczyźnie, w której znajduje się wielkość do a kąt jest podany przez ϕ. I możemy wykonać dodawanie w tej przestrzeni wektorowej: wektor reprezentujący sumę jest sumą wektorów reprezentujących sumy.

Tak więc, podczas gdy oba sygnały wpływają na wielkość wyjściową, dodatkowy sygnał nie wpłynie na to, gdzie w przestrzeni fazowej znajduje się wyjście.

Akumulacja
źródło
1

Chciałbym obrać ścieżkę geometrycznej wersji pytania, używając sum kół.

Sines i cosinus są „tylko” rzeczywiste i urojone części cisoids lub złożonych wykładniczych (niektóre odnośniki można znaleźć w jaki sposób wyjaśnić wykładniczej o wartościach zespolonych intuicyjnie? , Wiggle fabuła 3D na sygnał analityczny: Heyser korkociąg / spirala , Fourier Transform Tożsamości ).

Jeśli weźmiesz sω,ϕ(t)=mi2)πja(ωt+ϕ), następnie Re(sω,0(t))=cos(2πωt), or Im(sω,π/2(t))=cos(2πωt), and you can do a lot of combinations. The advantage of a cisoid is that it better uses the 2D space, as it can be depicted as a circle (a wheel) on which a point moves at different speeds driven by ω. A sum of "frequencies with different amplitudes" can be represented at "sums of spinning wheels" (borrowed from harmonic circles, or the Fourier Series Animation) with different radii and speeds, as depicted here:

Harmonic circles

Going back to a sum of two harmonics at the same frequency, the problem reads as: can we separate or measure the combination:

a1sω,ϕ1(t)+a2sω,ϕ2(t)?

Constants a1 and a2 could be complex, so let us simplify the problem a bit before. Since Fourier has shift invariance properties, we can factorize either e2πiϕ1 or e2πiϕ2, and keep only one phase difference. We can also factorize an amplitude (the biggest for instance), and reduce the question to the behavior of the simplified problem:

sω,0(t)+asω,ϕ(t),

with |a|<1. This simplification can be written as:

(1)e2πi(ωt)+ae2πi(ωt+ϕ)

and thus as:

(2)(1+ae2πiϕ)e2πi(ωt),

which is another harmonic component with same frequency, but a different phase and amplitude. The complex number (1+ae2πiϕ) could be rewritten as αe2πiφ, with trigonometric rules as detailed by @Fat32 (which I could detail later if needed). Now, let us geometrize the intuition. The unit circle is the motion of a point (say the tip of the valve) on a running bicycle wheel. The a-radius circle is like a small spinning wheel attached to the valve (like the blue and red circles only from the picture above). An now, we look at the motion of a dot on the perimeter of the small wheel.

What does your question ask: if the angular rotation of the small an the big wheel are the same, you cannot tell whether the motion of the dot results from the combination of the motion of two wheels of radii 1 and a (with some initial angle) or from a single bigger wheel (of radius α), with some other starting angle. This is what is mean by 1 and 2.

In other words, neither a Fourier transform, nor a human eye, can distinguish components with the same frequency but different phase.

[[I'll add animations if I find the time]]

Laurent Duval
źródło