Dlaczego autokorelacja osiąga swój szczyt na zero?

Wiem, że przesunięcie zera w funkcji autokorelacji jest równe jej energii, ale chciałbym zrozumieć, dlaczego szczyt ma zero.

Szukasz formalnego dowodu lub intuicji? W późniejszym przypadku: „Nic nie może być bardziej podobne do funkcji niż samo”. Autokorelacja przy opóźnieniu mierzy podobieństwo między funkcją a tą samą funkcją przesuniętą o . Zauważ, że jeśli jest okresowe, przesunięte o dowolną całkowitą wielokrotność i pokrywają się, więc autokorelacja ma kształt grzebieniowy - z pikami przy całkowitych wielokrotnościach okresu o tej samej wysokości co centralny pik.f τ f f τ $\tau$$f$$\tau$$f$$f$$\tau$$f$

Funkcja autokorelacji aperiodycznego sygnału energii skończonej w czasie dyskretnym jest dana przez dla sygnałów rzeczywistych i sygnałów złożonych. Ograniczając się do prawdziwych sygnałów dla łatwości prezentacji, rozważmy summand . Dla ustalonego opóźnienia i danego , zazwyczaj będzie miało wartość dodatnią lub ujemną. Jeśli tak się stanie, że dla określonego opóźnienia , jest nieujemne dla wszystkich , wówczas wszystkie warunki sumy sumują się (bez anulowania), a więc

$$R_x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[m-n]~~~~ \text{or}~~~ R_x[m] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](x[m-n])^*$$ $x[m]x[m-n]$$n$$m$$x[m]x[m-n]$$n$$x[m]x[m-n]$$m$$R_x[n]$x [ m - n ] x [ m ] x [ m - n ] x [ m ] x x [ m ] = { sin ( 0,1 π m )ma gwarancję dodatniej wartości. W rzeczywistości suma będzie największa, jeśli wszystkie szczyty w się ze szczytami w a doliny w z dolinami w . Na przykład, jeśli jest przeskalowaną funkcją sinc, powiedzmy, że ze szczytami przy and valley at , wtedy będzie miał maksima przy (i tym samym znacznikiem będzie miał$x[m-n]$$x[m]$$x[m-n]$$x[m]$$x$ $$x[m] = \begin{cases} \frac{\sin(0.1 \pi m)}{0.1 \pi m}, & m \neq 0,\\ 1, & m = 0\end{cases}$$ $m = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$$\pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ $x(t)$$R_x[n]$n=0,±25,±45,…n=±15,±$n = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$minima przy gdy szczyty wyrównują się z dolinami). Globalnym maksimum jest oczywiście na opóźnienia , gdy najwyższy pik w i pokrywają się. Rzeczywiście, wniosek ten dotyczy nie tylko tego sygnału sinusoidalnego, ale każdego sygnału. Przy opóźnieniu mamy i mamy gwarancję, że nie tylko wszystkie szczyty i doliny są ustawione w jednej linii inne (bez względu na to, gdzie występują w ), ale także, że najwyższe szczyty i najgłębsze doliny są odpowiednio ustawione.$n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$R x [ n ] n = 0 x [ m ] x [ m - n ] n = 0 R x [ 0 ] = ∞ ∑ m = - ∞ ( x [ m ] ) 2 x [ m ]$R_x[n]$$n = 0$$x[m]$$x[m-n]$ $n = 0$ $$R_x[0] = \sum_{m=-\infty}^\infty (x[m])^2$$ $x[m]$

Bardziej formalnie, dla pedantów takich jak @JohnSmith, którzy żądają formalnych dowodów, Cauchy Inequality mówi, że w przypadku sekwencji o złożonej wartości i , Bardziej szczegółowa wersja ogranicza się do sekwencji o wartościach rzeczywistych tylko w celu ułatwienia ponieważ gdzie równość trzyma się w górnej (dolnej) granicy, jeśli istnieje liczba dodatnia (ujemna) tak że , (to znaczy$u$$v$

$$\left|\sum_m u[m](v[m])^*\right|^2 \leq \sum_m |u[m]|^2 \sum_n |v[m]|^2.$$ $$-\sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2}$$ $\lambda$$u = \lambda v$$u[m]=\lambda v[m] ~ \forall m$ gdzie ( )). Uznając, że sumy w pierwiastkach kwadratowych to energie i sekwencji, możemy napisać, że Ustawienie oraz gdzie jest jakąś liczbą całkowitą, mamy to i rozpoznanie, że teraz$\lambda > 0$$\lambda < 0$$\mathcal E_u$$\mathcal E_v$ $$-\sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v}$$ $u[m] = x[m]$$v[m] = x[m-n]$$n$ $$-\sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2} \leq R_x[n] \leq \sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2}$$ $\mathcal E_u = \mathcal E_v = \mathcal E_x$, mamy to z zachowaniem równości w jednej z granic, jeśli dla wszystkich . Na koniec zauważając, że i że gdy , sekwencja jest identyczna z sekwencją (to znaczy to dodatnia liczba rzeczywista taka, że dla wszystkich ), mamy że pokazuje, że ma wartość szczytową przy $$-\mathcal E_x \leq R_x[n] \leq \mathcal E_x$$ $x[m] = \lambda x[m-n]$$m$ $$\mathcal E_x = \sum_m (x[m])^2 = R_x[0]$$ $n=0$$u[m] = x[m]$$v[m] = x[m-n] = x[m-0] = x[m]$$\lambda = 1$$u[m] = \lambda v[m]$$m$ $$-R_x[0] \leq R_x[n] \leq R_x[0]$$ $R_x[n]$$n=0$, wszystkie inne wartości autokorelacji są mniejsze niż ten pik.

---

Gdy jest okresowym sygnałem o skończonej mocy, sumy podane powyżej dla rozbieżne. W takich przypadkach stosuje się okresową funkcję autokorelacji gdzie jest okresem , że to dla wszystkich liczb całkowitych . Zauważ, że jest okresową funkcją . Teraz, chociaż prawdą jest, żedla maksymalna wartość również jest okresowo powtarzana:$x[m]$$R_x[n]$

$$R_x[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m](x[m-n])$$ $N$$x[m]$$x[m] = x[m-N]$$m$$R_x[n]$$n$$R_x[0] \geq |R_x[n]|$$1 < n < N$$R_x[0]$$R_x[kN] = R_x[0]$ dla wszystkich liczb całkowitych . Należy również zauważyć, że możliwe jest, że dla niektórych , zazwyczaj przy jeśli jest parzyste, i więc możemy mieć doliny tak głębokie, jak najwyższe szczyty w okresowej funkcji autokorelacji. Najprostszym przykładem takiej sekwencji jest sytuacja, gdy a jednym okresem sekwencji jest którego okresowa autokorelacja jest tylko sekwencją okresową , to znaczy naprzemiennymi pikami i dolinami z autokorelacją o wartości szczytowej gdy$k$$R_x[n] = -R_x[0]$$n \in \{1, 2, \ldots, N-1\}$$n = N/2$$N$$N=2$$[1 ~ -1]$$[2 ~ -2]$$R_x[n]$$2$$n$jest parzystą liczbą całkowitą (nie zapominaj, że jest parzystą liczbą całkowitą!) i posiadającą wartość „anti peak” przy nieparzystych wartościach . Mówiąc bardziej ogólnie, mamy to zjawisko za każdym razem, gdy jest parzyste, a jeden okres można rozłożyć na .$0$$-2$$n$$N$$\vec{x}$$[\vec{x^\prime}, -\vec{x^\prime}]$

za pomocą

$$\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 = x^2[n] + x^2[n+m] - 2x[n]x[n+m]$$

można to łatwo pokazać

$$\begin{align} R_x[m] & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x[n+m] \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2[n] - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ & = \ R_x[0] \quad \quad - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ \end{align}$$

pierwszy składnik to po prostu a drugi składnik to liczba nieujemna odejmowana od pierwszego. oznacza to, że nie może przekraczać dla żadnego .R x [ m ] R x [ 0 ] $R_x[0]$$R_x[m]$$R_x[0]$$m$