Rozkład krańcowy przekątnej odwróconej macierzy rozproszonej Wishart

Załóżmy, że . Interesuje mnie rozkład krańcowy elementów ukośnych . Istnieje kilka prostych wyników dotyczących dystrybucji submatrices of (przynajmniej niektóre wymienione na Wikipedii). Z tego mogę wywnioskować, że krańcowy rozkład dowolnego pojedynczego elementu na przekątnej jest odwrotną gamma. Ale nie byłem w stanie wydedukować wspólnej dystrybucji. $X\sim \operatorname{InvWishart}(\nu, \Sigma_0)$ $\operatorname{diag}(X) = (x_{11}, \dots, x_{pp})$ $X$

Pomyślałem, że może to wynikać z kompozycji, np .:

p (x_{11} | x_{i i}, i > 1) p (x_{22} | x_{i i}, i > 2) \dots p (x_{(p - 1) (p - 1)} | x_{p p}) p (x_{p p}),

$p(x_{11} | x_{ii}, i\gt 1)p(x_{22}|x_{ii}, i>2)\dots p(x_{(p-1)(p-1)}|x_{pp})p(x_{pp}),$

ale nigdzie z tym nie dotarłem i dalej podejrzewam, że brakuje mi czegoś prostego; wydaje się, że to „powinno” być znane, ale nie byłem w stanie go znaleźć / pokazać.

distributions probability pdf JMS
źródło

Twierdzenie 7.9 Bilodeau i Brenner (plik pdf jest bezpłatnie dostępny w Internecie) daje obiecujący wynik dla Wishart (być może przeniesiony do odwrotnego Wishart). Jeśli podzielisz na bloki jako , to jest Wishart, podobnie jak i są one niezależne.

X

$X$

X_{11}, X_{12}; X_{21}, X_{22}

$X_{11},X_{12};X_{21},X_{22}$

X_{22}

$X_{22}$

X_{11} - X_{12} X_{22}^{- 1} X_{21}

$X_{11} - X_{12}X_{22}^{-1}X_{21}$

shabbychef

Ta propozycja ma zastosowanie tylko wtedy, gdy znasz całą macierz: jeśli masz tylko przekątną, to nie wiesz np. , więc nie możesz wykonać transformacji.

X_{12}

$X_{12}$

petrelharp

Odpowiedzi:

Ogólnie można dekomponować dowolną macierz kowariancji na dekompozycję korelacji wariancji jako Tutaj jest macierzą korelacji z jednostkowymi przekątnymi . Zatem wpisy diagonalne są teraz częścią diagonalnej macierzy wariancji . Ponieważ wpisy poziome przekątnej macierzy wariancji wynoszą zero , szukany rozkład połączeń jest po prostu iloczynem rozkładów krańcowych każdego wpisu przekątnego.

Σ = diag (Σ) Q diag (Σ)^{⊤} = re Q {re}^{⊤}

$\Sigma = \text{diag}(\Sigma) \ Q \ \text{diag}(\Sigma)^\top = D\ Q \ D^\top$

Q

$Q$

q_{i i} = 1

$q_{ii} = 1$

Σ

$\Sigma$

D = [D]_{i i} = [Σ]_{i i}

$D = [D]_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

d_{i j} = 0, i \neq j

$d_{ij} = 0, \ i \ne j$

Rozważmy teraz standardowy model odwrotny Wishart dla wymiarowa macierz kowariancji $d$ $\Sigma$

Σ \sim ja W. (ν + re - 1, 2) ν Λ), ν > re - 1

$\Sigma \sim \mathcal{IW}(\nu +d -1, 2\nu \Lambda), \quad \nu > d-1$

Ukośne elementy są marginalnie rozmieszczone jako $\sigma_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

σ_{ja ja} \sim inv- χ^{2)} (ν + re - 1, \frac{λ_{ja ja}}{ν - re + 1})

$\sigma_{ii} \sim \text{inv-$\chi^2$}\left(\nu+d-1,\frac{\lambda_{ii}}{\nu -d + 1}\right)$

Ładne odniesienie z różnymi priorytetami dla macierzy kowariancji, które rozkładają się na różne rozkłady wariancji-korelacji, podano tutaj

użytkownik3303
źródło