Jakie są warunki prawidłowości testu ilorazu wiarygodności

Wymagane warunki regularności są wymienione w większości podręczników pośrednich i nie różnią się od warunków mle. Poniższe dotyczą przypadku z jednym parametrem, ale ich rozszerzenie na jeden z parametrów wieloparametrowych jest proste.

Warunek 1 : Pliki pdf są różne, tzn. $\theta \neq \theta ^{\prime} \Rightarrow f(x_i;\theta)\neq f(x_i;\theta ^{\prime})$

Zauważ, że ten warunek zasadniczo stwierdza, że parametr identyfikuje pdf.

Warunek 2: Pliki PDF mają wspólne wsparcie dla wszystkich $\theta$

Oznacza to, że wsparcie nie zależy od $\theta$

Warunek 3 : Punkt , czyli rzeczywisty parametr, jest punktem wewnętrznym w pewnym zestawie $\theta_0$ $\Omega$

Ostatni dotyczy możliwości pojawienia się w punktach końcowych interwału. $\theta$

Te trzy razem gwarancja, że prawdopodobieństwo jest zmaksymalizowane na prawdziwego parametru , a następnie, że MLE który rozwiązuje równanie $\theta_0$ $\hat{\theta}$

\frac{\partial l (θ)}{\partial θ} = 0

$\frac{\partial l(\theta)} {\partial \theta}=0$

jest spójny.

Warunek 4 : Plik pdf można dwukrotnie rozróżnić w funkcji $f(x;\theta)$ $\theta$

Warunek 5 : Całka może być różnicowana dwukrotnie pod znakiem całki w funkcji $\int_{-\infty}^{\infty} f(x;\theta)\ \mathrm dx$ $\theta$

Potrzebujemy dwóch ostatnich, aby uzyskać informację Fishera, która odgrywa centralną rolę w teorii zbieżności mle.

Dla niektórych autorów są one wystarczające, ale jeśli mamy być dokładni, potrzebujemy dodatkowo ostatecznego warunku, który zapewni asymptotyczną normalność mle.

Warunek 6 : pdf jest trzykrotnie różniczkowalny w funkcji . Ponadto dla wszystkich istnieje stała i funkcja taka, że $f(x;\theta)$ $\theta$ $\theta \in \Omega$ $c$ $M(x)$

| \frac{\partial^{3)} l o sol fa (x; θ)}{\partial θ^{3)}} | \leq M. (x)

$\left| \frac{\partial^3 log f(x;\theta)}{\partial \theta^3} \right| \leq M(x)$

z dla wszystkich i wszystkie na poparcie $E_{\theta_0} \left[M(X)\right] <\infty$ $|\theta-\theta_0|<c$ $x$ $X$

Zasadniczo ostatni warunek pozwala nam wnioskować, że pozostała część ekspansji Taylora drugiego rzędu o jest ograniczona prawdopodobieństwem, a zatem nie stanowi problemu asymptotycznie. $\theta_0$

Czy o to ci chodziło?

JohnK
źródło

Dzięki. Ale jesteś pewien, że warunki prawidłowości związane z dowodem, że -2log (lambda) podąża za Chi kwadrat z df 1 są takie same?

Kingstat

@Kingstat Tak. Warunki te pochodzą od Hogga i Craiga „Wprowadzenie do statystyki matematycznej” i zapewniają, że przy

, to jest

H_{0}

$H_0$

θ = θ_{0}

$\theta=\theta_0$

- 2 \log Λ \to^{D} χ^{2} (1)

$-2\log\Lambda \to^D \chi^2 (1)$

JohnK

czy możesz mi również powiedzieć, jak dla gęstości N (θ, 1) test wyniku Rao jest równoważny testowi UMPU?

Kingstat

@Kingstat Co oznacza skrót UMPU?

JohnK,

Równomiernie najsilniejszy bezstronny.

Kingstat

Jakie są warunki prawidłowości testu ilorazu wiarygodności

Odpowiedzi: