Zacznę od stwierdzenia, że jest to zadanie domowe od samego początku. Spędziłem kilka godzin, szukając sposobu na znalezienie oczekiwanych wartości i zdecydowałem, że nic nie rozumiem.
Niech ma CDF .
Znajdź dla tych wartości dla których istnieje .
Nie mam pojęcia, jak to rozpocząć. Jak mogę ustalić, które wartości istnieją? Nie wiem też, co zrobić z CDF (zakładam, że to oznacza funkcję dystrybuowania skumulowanego). Istnieją formuły do znalezienia oczekiwanej wartości, gdy masz funkcję częstotliwości lub funkcję gęstości. Wikipedia twierdzi, że CDF X można zdefiniować w funkcji gęstości prawdopodobieństwa f w następujący sposób:
To jest tak daleko, jak to możliwe. Gdzie mogę się stąd udać?
EDYCJA: Chciałem umieścić .
źródło
Użycie funkcji gęstości nie jest konieczne
Zintegruj 1 minus CDF
Jeśli masz losową zmienną która ma podparcie, które nie jest ujemne (to znaczy, że zmienna ma niezerową gęstość / prawdopodobieństwo tylko wartości dodatnich), możesz użyć następującej właściwości:X
Podobna właściwość ma zastosowanie w przypadku dyskretnej zmiennej losowej.
Dowód
Ponieważ ,1−FX(x)=P(X≥x)=∫∞xfX(t)dt
Następnie zmień kolejność integracji:
Uznając, że jest zmienną fikcyjną, lub przyjmując proste podstawienie t = x i d t = d x ,t t=x dt=dx
Przypisanie
Użyłem Formuły do specjalnych przypadków w artykule Oczekiwana wartość na Wikipedii, aby odświeżyć moją pamięć na dowodzie. Ta sekcja zawiera również dowody dla dyskretnego przypadku zmiennej losowej, a także dla przypadku, w którym nie istnieje funkcja gęstości.
źródło
The result extends to thek th moment of X as well. Here is a graphical representation:
źródło
What you "know" about CDFs is that they eventually approach zero as the argumentx decreases without bound and eventually approach one as x→∞ . They are also non-decreasing, so this means 0≤F(y)≤F(x)≤1 for all y≤x .
So if we plug in the CDF we get:
From this we conclude that the support forx is x≥1 . Now we also require limx→∞F(x)=1 which implies that α>0
To work out what values the expectation exists, we require:
And this last expression shows that forE(X) to exist, we must have −α<−1 , which in turn implies α>1 . This can easily be extended to determine the values of α for which the r 'th raw moment E(Xr) exists.
źródło
The Answer requiring change of order is unnecessarily ugly. Here's a more elegant 2 line proof.
Now takedu=dx and v=1−F(x)
źródło