Czy funkcja generująca moment jest transformatą Fouriera funkcji gęstości prawdopodobieństwa?
Innymi słowy, czy funkcja generująca moment jest po prostu rozdzielczością widmową rozkładu gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej, tj. Równoważnym sposobem scharakteryzowania funkcji pod względem jej amplitudy, fazy i częstotliwości zamiast parametru?
Jeśli tak, to czy możemy dać fizyczną interpretację tej bestii?
Pytam, ponieważ w fizyce statystycznej funkcja generowania skumulowanego , logarytm funkcji generującej moment, jest wielkością addytywną charakteryzującą układ fizyczny. Jeśli myślisz o energii jako zmiennej losowej, to jej funkcja generowania skumulowanego ma bardzo intuicyjną interpretację jako rozkład energii w systemie. Czy istnieje podobna intuicyjna interpretacja funkcji generowania momentu?
Rozumiem matematyczną użyteczność tego, ale to nie jest tylko sztuczka, z pewnością kryje się za tym sens koncepcyjnie?
Odpowiedzi:
MGF jest
dla rzeczywistych wartości tam, gdzie istnieje oczekiwanie. Pod względem funkcji gęstości prawdopodobieństwa ,f ( x )t f(x)
To nie jest transformacja Fouriera (która miałaby zamiast . e t xeitx etx
Funkcja generowania momentu jest prawie dwustronną transformacją Laplace'a, ale dwustronna transformata Laplace'a ma raczej niż . e t xe−tx etx
źródło