Dystrybucja „niezmieszanych” części na podstawie kolejności mieszania

9

Załóżmy, że mam sparowane obserwacje, takie jak dla . Niech i oznaczają od p największa obserwowana wartość . Jaka jest (warunkowa) dystrybucja ? (lub równoważnie z )XiN(0,σx2),YiN(0,σy2),i=1,2,,nZi=Xi+Yi,ZijjZXijYij

To znaczy, jaki jest rozkład , pod że jest tą największą spośród obserwowanych wartości ?XiZijnZ

Zgaduję, że ponieważ , rozkład zbieżny z bezwarunkowym rozkładem , natomiast jako , rozkład zbieżny do bezwarunkowego rozkładu statystyki tego rzędu z . Jednak pośrodku nie jestem pewien.ρ=σxσy0XijXρXijjX

shabbychef
źródło
Usunąłem znacznik „mieszanka”, ponieważ jest to pytanie o sumę (lub równoważnie o skorelowane zmienne normalne), a nie o ich mieszankę.
whuber
XiZakłada się również, że jest niezależny od , tak? Yi
kardynał
@cardinal: tak, są niezależni.
shabbychef
Ostatnie i powiązane pytanie, które pojawiło się na mat.SE: math.stackexchange.com/questions/38873/…
kardynał
Rozwiązanie opublikowane na mat.SE jest koncepcyjnie identyczne z rozwiązaniem, które podam poniżej - ale sformułowane przy użyciu nieco innej terminologii.
NRH

Odpowiedzi:

1

Zauważ, że zmienna losowa jest funkcją tylko . Dla , , piszemy dla indeksu tej największej współrzędnej. Niech także oznacza rozkład warunkowy dla .ijZ=(Z1,,Zn)nzij(z)jPz(A)=P(X1AZ1=z)X1Z1

Jeśli podzielimy prawdopodobieństwa według wartości i rozpadniemy wrt , otrzymamyijZ

P(XijA)=kP(XkA,ij=k)=k(ij(z)=k)P(XkAZ=z)P(Zdz)=k(ij(z)=k)P(XkAZk=zk)P(Zdz)=k(ij(z)=k)Pzk(A)P(Zdz)=Pz(A)P(Zijdz)

Ten argument jest dość ogólny i opiera się wyłącznie na podanych założeniach iid, a może być dowolną funkcją .Zk(Xk,Yk)

Zgodnie z założeniami rozkładów normalnych (przyjmując ) i jako suma, rozkład warunkowy dla wynosi i @probabilityislogic pokazuje, jak obliczyć rozkład , stąd mamy wyrażenia jawne dla obu rozkładów, które wchodzą w ostatnią całkę powyżej. Czy całka może być obliczona analitycznie, to kolejne pytanie. Możesz być w stanie, ale nie wiem, czy to możliwe. Do analizy asymptotycznej, gdy lubσy=1ZkX1Z1=z

N(σx21+σx2z,σx2(1σx21+σx2))
Zijσx0σx może nie być konieczne.

Intuicyjne obliczenie powyższego obliczenia polega na tym, że jest to warunkowy argument niezależności. Biorąc pod uwagę zmienne i są niezależne.Zk=zXkij

NRH
źródło
1

Rozkład nie jest trudny i wynika z rozkładu związku Beta-F:Zij

pZij(z)dz=n!(j1)!(nj)!1σzϕ(zσz)[Φ(zσz)]j1[1Φ(zσz)]njdz

Gdzie jest standardowym normalnym plikiem PDF, a jest standardowym normalnym plikiem CDF, a .ϕ(x)Φ(x)σz2=σy2+σx2

Teraz, jeśli otrzymujesz, że , to jest funkcją 1-do-1 , a mianowicie . Sądzę więc, że powinno to być proste stosowanie reguły jakobianów.Yij=yXijZijXij=Zijy

pXij|Yij(x|y)=n!(j1)!(nj)!1σzϕ(x+yσz)[Φ(x+yσz)]j1[1Φ(x+yσz)]njdx

To wydaje się zbyt łatwe, ale myślę, że jest poprawne. Cieszę się, że widzimy się źle.

prawdopodobieństwo prawdopodobieństwa
źródło
Źle zrozumiałeś pytanie. Szukam dystrybucji w funkcji . W rzeczywistości nie obserwuję i i nie mogę ich uzależniać. Można założyć, , że , a zatem rozważ tylko parametry . Xijj,n,σx,σyXiYiσx=1j,n,σy
shabbychef
ok - więc w zasadzie musisz usunąć z tego równania? (zintegrowane)y
prawdopodobieństwo jest
tak; i nie jest niezależny od Z ...
shabbychef