Załóżmy, że mam sparowane obserwacje, takie jak dla . Niech i oznaczają od p największa obserwowana wartość . Jaka jest (warunkowa) dystrybucja ? (lub równoważnie z )
To znaczy, jaki jest rozkład , pod że jest tą największą spośród obserwowanych wartości ?
Zgaduję, że ponieważ , rozkład zbieżny z bezwarunkowym rozkładem , natomiast jako , rozkład zbieżny do bezwarunkowego rozkładu statystyki tego rzędu z . Jednak pośrodku nie jestem pewien.
distributions
order-statistics
shrinkage
shabbychef
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Zauważ, że zmienna losowa jest funkcją tylko . Dla , , piszemy dla indeksu tej największej współrzędnej. Niech także oznacza rozkład warunkowy dla .ij Z=(Z1,…,Zn) n z ij(z) j Pz(A)=P(X1∈A∣Z1=z) X1 Z1
Jeśli podzielimy prawdopodobieństwa według wartości i rozpadniemy wrt , otrzymamyij Z
Ten argument jest dość ogólny i opiera się wyłącznie na podanych założeniach iid, a może być dowolną funkcją .Zk (Xk,Yk)
Zgodnie z założeniami rozkładów normalnych (przyjmując ) i jako suma, rozkład warunkowy dla wynosi i @probabilityislogic pokazuje, jak obliczyć rozkład , stąd mamy wyrażenia jawne dla obu rozkładów, które wchodzą w ostatnią całkę powyżej. Czy całka może być obliczona analitycznie, to kolejne pytanie. Możesz być w stanie, ale nie wiem, czy to możliwe. Do analizy asymptotycznej, gdy lubσy=1 Zk X1 Z1=z
Intuicyjne obliczenie powyższego obliczenia polega na tym, że jest to warunkowy argument niezależności. Biorąc pod uwagę zmienne i są niezależne.Zk=z Xk ij
źródło
Rozkład nie jest trudny i wynika z rozkładu związku Beta-F:Zij
Gdzie jest standardowym normalnym plikiem PDF, a jest standardowym normalnym plikiem CDF, a .ϕ(x) Φ(x) σ2z=σ2y+σ2x
Teraz, jeśli otrzymujesz, że , to jest funkcją 1-do-1 , a mianowicie . Sądzę więc, że powinno to być proste stosowanie reguły jakobianów.Yij=y Xij Zij Xij=Zij−y
To wydaje się zbyt łatwe, ale myślę, że jest poprawne. Cieszę się, że widzimy się źle.
źródło