Zrozumienie testu chi-kwadrat i rozkładu chi-kwadrat

Próbuję zrozumieć logikę testu chi-kwadrat.

Test chi-kwadrat to . jest następnie porównywany z rozkładem chi-kwadrat, aby znaleźć wartość p. w celu odrzucenia lub nie hipotezy zerowej. : obserwacje pochodzą z rozkładu, którego użyliśmy do stworzenia naszych oczekiwanych wartości. Na przykład moglibyśmy sprawdzić, czy prawdopodobieństwo uzyskania jest podane przez tak jak się spodziewamy. Przerzucamy więc 100 razy i znajdujemy i . Chcemy porównać nasze wyniki z oczekiwaniami ( ). Równie dobrze moglibyśmy zastosować rozkład dwumianowy, ale nie o to chodzi w pytaniu… Pytanie brzmi: χ2H0pnH1-nH100⋅$\chi ^2 = \sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$$\chi ^2$$H_0$head$p$$n_H$ Heads$1-n_H$ tails$100 \cdot p$

Czy możesz wyjaśnić, dlaczego zgodnie z hipotezą zerową ma rozkład chi-kwadrat?$\sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$

Wszystko, co wiem o rozkładzie chi-kwadrat, to to, że rozkład chi-kwadrat stopnia jest sumą kwadratowego standardowego rozkładu normalnego.$k$$k$

Równie dobrze moglibyśmy zastosować rozkład dwumianowy, ale nie o to chodzi w pytaniu…

Niemniej jednak jest to nasz punkt wyjścia nawet do twojego rzeczywistego pytania. Omówię to nieco nieformalnie.

Rozważmy bardziej ogólnie przypadek dwumianowy:

$Y\sim \text{Bin}(n,p)$

Załóżmy, że i są takie, że jest dobrze aproksymowane normą z tą samą średnią i wariancją (niektóre typowe wymagania są mniejsze niż nie jest małe, lub że nie jest mały).p Y min ( n p , n ( 1 - p ) $n$$p$$Y$$\min(np,n(1-p))$$np(1-p)$

Wtedy będzie w przybliżeniu . Tutaj jest liczbą sukcesów.∼ χ 2 1$(Y-E(Y))^2/\text{Var}(Y)$$\sim\chi^2_1$$Y$

Mamy i .Var ( Y ) = n p ( 1 - p $E(Y) = np$$\text{Var}(Y)=np(1-p)$

(W przypadku testowania jest znane, a jest określone w . Nie dokonujemy żadnych oszacowań.)p H $n$$p$$H_0$

Więc będzie w przybliżeniu .∼ χ 2 $(Y-np)^2/np(1-p)$$\sim\chi^2_1$

Zauważ, że . Zauważ też, że .$(Y-np)^2 = [(n-Y)-n(1-p)]^2$$\frac{1}{p} + \frac{1}{1-p} = \frac{1}{p(1-p)}$

Stąd$\frac{(Y-np)^2}{np(1-p)} = \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{(Y-np)^2}{n(1-p)}\\ \quad= \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{[(n-Y)-n(1-p)]^2}{n(1-p)} \\ \quad= \frac{(O_S-E_S)^2}{E_S}+\frac{(O_F-E_F)^2}{E_F}$

Która jest tylko statystyką chi-kwadrat dla przypadku dwumianowego.

W takim przypadku statystyka chi-kwadrat powinna mieć rozkład kwadratu (w przybliżeniu) zmiennej losowej o normalnej normie.