CDF podniesiony do władzy?

15

Jeśli FZ jest CDF, wygląda na to, że FZ(z)α ( α>0 ) również jest CDF.

P: Czy to wynik standardowy?

P: Czy istnieje dobry sposób na znalezienie funkcji g pomocą Xg(Z) st FX(x)=FZ(z)α , gdzie xg(z)

Zasadniczo mam w ręku inny CDF, FZ(z)α . W pewnym sensie zredukowanej formy chciałbym scharakteryzować zmienną losową, która wytwarza ten CDF.

EDYCJA: Byłbym szczęśliwy, gdybym mógł uzyskać wynik analityczny dla specjalnego przypadku . Lub przynajmniej wiedzieć, że taki wynik jest trudny do rozwiązania.ZN(0,1)

lowndrul
źródło
2
Tak, to dość dobrze znany wynik i łatwo go uogólnić. (Jak?) Możesz także znaleźć g , przynajmniej pośrednio. Zasadniczo jest to zastosowanie techniki odwrotnej transformacji prawdopodobnie powszechnie stosowanej do generowania losowych zmiennych o dowolnym rozkładzie.
kardynał
2
@cardinal Proszę, odpowiedz. Zespół narzeka później, że nie walczymy z niskim współczynnikiem odpowiedzi.
1
@mbq: Dzięki za komentarze, które bardzo rozumiem i szanuję. Proszę zrozumieć, że czasem względy czasu i / lub miejsca nie pozwalają mi na opublikowanie odpowiedzi, ale pozwalają na szybki komentarz, który może sprawić, że OP lub inni uczestnicy wystartują. Zapewniam, że w przyszłości, jeśli będę w stanie opublikować odpowiedź, zrobię to. Mam nadzieję, że mój dalszy udział w komentarzach również będzie w porządku.
kardynał
2
@cardinal Niektórzy z nas są winni tego samego, z tych samych powodów ...
whuber
2
@brianjd Tak, to dobrze znany wynik, który został wykorzystany do przemysłowej produkcji „uogólnionych” dystrybucji, patrz . Istnieje wiele transformacji takich jak ta i ludzie używają ich do tego celu: znajdują transformację parametryczną, stosują ją do rozkładu i voilá, masz papier po prostu obliczając jego właściwości. Oczywiście normalna jest pierwszą „ofiarą”.

Odpowiedzi:

11

Lubię inne odpowiedzi, ale nikt jeszcze nie wspomniał o następujących. Zdarzenie występuje wtedy i tylko wtedy, gdy { m a x ( U , V ) t } , więc jeśli U i V są niezależne, a W = m a x ( U , V ) , to F W ( t ) = F U ( t ) {Ut, Vt}{max(U,V)t}UVW=max(U,V) tak, aby α dodatniej liczby całkowitej (na przykład, α = n ) ma X = m w X ( Z 1 , . . . Z n ) w którym Z „S są IIDFW(t)=FU(t)FV(t)αα=nX=max(Z1,...Zn)Z

Dla możemy przełączyć się, aby uzyskać F Z = F n X , więc X będzie tą zmienną losową, tak że maksimum n niezależnych kopii ma taki sam rozkład jak Z (i nie byłby to jeden z naszych znajomych znajomych , ogólnie). α=1/nFZ=FXnXnZ

Przypadek dodatniej liczby wymiernej (powiedzmy α = m / n ) wynika z poprzedniego, ponieważ ( F Z ) m / n = ( F 1 / n Z ) m .αα=m/n

(faZ)m/n=(faZ1/n)m.

Dla irracjonalnego wybierz sekwencję dodatnich racjonalności a k zbiegających się do α ; wtedy sekwencja X k (gdzie możemy użyć powyższych sztuczek dla każdego k ) zbiegnie się w rozkładzie do pożądanego X.αzakαXkkX

Może nie jest to charakterystyka, której szukasz, ale przynajmniej daje pewne pojęcie, jak myśleć o dla α odpowiednio ładnego. Z drugiej strony, nie jestem do końca pewny, jak ładniej może być naprawdę: masz już CDF, więc reguła łańcucha daje ci PDF i możesz obliczyć momenty, aż słońce zajdzie ...? Prawdą jest, że większość Z nie będzie miała X znanego z α = faZααZX , ale gdybym chciał pobawić się przykładem szukania czegoś interesującego, mógłbym spróbowaćZrównomiernie rozłożone w jednostkowym przedziale zF(z)=z,0<z<1.α=2)Zfa(z)=z0<z<1


EDYCJA: Napisałem kilka komentarzy w odpowiedzi na @JMS i pojawiło się pytanie o moją arytmetykę, więc napiszę, co miałem na myśli, mając nadzieję, że będzie to bardziej jasne.

@ kardynał poprawnie w komentarzu do @JMS w odpowiedzi napisał, że problem upraszcza się do lub bardziej ogólnie, gdy Z niekoniecznie jest N ( 0 , 1 ) , my mają x = g - 1 ( y ) = F - 1 ( F α ( y ) ) .

g1(y)=Φ1(Φα(y)),
ZN(0,1)
x=g1(y)=F1(Fα(y)).
Chodzi mi o to, że gdy ma ładną funkcję odwrotną, możemy po prostu rozwiązać funkcję y = g ( x ) za pomocą podstawowej algebry. W komentarzu napisałem, że g powinno być y = g ( x ) = F - 1 ( F 1 / α ( x ) ) .Fy=g(x)g
y=g(x)=F1(F1/α(x)).

Weźmy specjalny przypadek, podłączmy rzeczy i zobaczmy, jak to działa. Niech ma rozkład Exp (1), przy czym CDF F ( x ) = ( 1 - e - x ) , x > 0 , i odwrotny CDF F - 1 ( y ) = - ln ( 1 - y ) . Łatwo jest podłączyć wszystko, aby znaleźć g ; po skończeniu otrzymujemy y = g ( x ) = -X

fa(x)=(1-mi-x), x>0,
fa-1(y)=-ln(1-y).
sol Podsumowując, moje twierdzenie jest takie, że jeśli X E x p ( 1 ) i jeśli zdefiniujemy Y = - ln ( 1 - ( 1 - e - X) ) 1 / α ) , wtedy Y będzie mieć CDF, który wygląda jak F Y ( y ) = (
y=g(x)=ln(1(1ex)1/α)
XExp(1)
Y=ln(1(1eX)1/α),
Y Możemy to udowodnić bezpośrednio (spójrz naP(Yy)i użyj algebry, aby uzyskać wyrażenie, w następnym kroku potrzebujemy transformacji całkowej prawdopodobieństwa). Właśnie w (często powtarzanym) przypadku, że zwariowałem, przeprowadziłem kilka symulacji, aby dwukrotnie sprawdzić, czy to działa ... i działa. Patrz poniżej. Aby ułatwić kod, użyłem dwóch faktów: jeśli  X F,  to  U = F ( X ) U n i f ( 0 , 1 )
FY(y)=(1ey)α.
P(Yy)
If XF then U=F(X)Unif(0,1).
If UUnif(0,1) then U1/αBeta(α,1).

Poniżej przedstawiono wykres wyników symulacji.

ECDF i F do alfa

Kod R użyty do wygenerowania wykresu (etykiety minus) to

n <- 10000; alpha <- 0.7
z <- rbeta(n, shape1 = alpha, shape2 = 1)
y <- -log(1 - z)
plot(ecdf(y))
f <- function(x) (pexp(x, rate = 1))^alpha
curve(f, add = TRUE, lty = 2, lwd = 2)

Myślę, że dopasowanie wygląda całkiem nieźle? Może nie jestem szalony (tym razem)?


źródło
ZN(0,1)g(z)=Φ1(Φ1/α(z))
Dobrze byłoby dwukrotnie sprawdzić swoją arytmetykę.
kardynał
@ cardinal errr ... OK, zrobiłem ... i to prawda? Czy mógłbyś wskazać błąd?
(+1) Przeprosiny. Nie jestem pewien, gdzie była moja głowa, kiedy po raz pierwszy na to spojrzałem. To oczywiście (no cóż, powinno być!) Prawidłowe.
kardynał
@ kardynał, bez szkody, bez faulu. Przyznaję jednak, że naprawdę pociłeś mnie przez minutę! :-)
14

Dowód bez słów

wprowadź opis zdjęcia tutaj

FFαα<1zx=g(z)

Whuber
źródło
Ładne zdjęcie! P: W co zostało to wciągnięte? TikZ?
lowndrul
1
@brianjd: O ile pamiętam, @whuber robi wiele swoich wątków przy użyciu Mathematiki.
kardynał
3
@cardinal Masz rację. Właściwie używam wszystkiego, co jest przydatne i wydaje się, że szybko wykona dobrą robotę. FWIW, oto kod:Module[ {y, w, a = 0.1, z = 3.24, f = ChiDistribution[7.6], xmin=0, xmax=5}, y = CDF[f,z]; w = InverseCDF[f, y^(1/a)]; Show[ Plot[{CDF[f, x],CDF[f,x]^a} , {x, xmin, xmax}, Filling->{1->{2}}], Graphics[{ Dashed, Arrow[{{z,0}, {z,y}}], Arrow[{{z,y}, {w,y}}], Arrow[{{w,y}, {w,0}}] }] ] ]
whuber
6

α>1

Fz(z)α10Fz

FZ

JMS
źródło
ZN(0,1)
2
@brianjd: Nie wierzę w to. Pozwolićsol być ciągłą ściśle monotoniczną funkcją (stąd posiadającą dobrze zdefiniowaną odwrotność sol-1), który spełnia twoje warunki. Więc to musi być toΦα(u)=P.(sol(Z)u)=P.(Zsol-1(u))=Φ(sol-1(u)) a więc sol-1(u)=Φ-1(Φα(u)). Tak więc odwrotność jest identyfikowana dość wyraźnie, ale niesolsamo. To właśnie miałem na myśli w poprzednim komentarzusolznalezione niejawnie .
kardynał
@brianjd - Co powiedział @cardinal :) Nie mogłem nawet wymyślić specjalnego przypadku faZgdzie dostaniesz zamknięty formularz (nie mówiąc już o tym, że go nie ma).
JMS
@JMS: ZU[0,1]byłby jednym pozytywnym przykładem.
kardynał
@ kardynał Nigdy bym nie pomyślał o tak rzadkiej dystrybucji ... ale teraz, kiedy o niej wspominasz bmitza(za,1) powinien działać ogólnie, dając ci a bmitza(zaα,1).
JMS