Jeśli jest CDF, wygląda na to, że ( ) również jest CDF.
P: Czy to wynik standardowy?
P: Czy istnieje dobry sposób na znalezienie funkcji pomocą st , gdzie
Zasadniczo mam w ręku inny CDF, . W pewnym sensie zredukowanej formy chciałbym scharakteryzować zmienną losową, która wytwarza ten CDF.
EDYCJA: Byłbym szczęśliwy, gdybym mógł uzyskać wynik analityczny dla specjalnego przypadku . Lub przynajmniej wiedzieć, że taki wynik jest trudny do rozwiązania.
data-transformation
cdf
quantile-function
lowndrul
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Lubię inne odpowiedzi, ale nikt jeszcze nie wspomniał o następujących. Zdarzenie występuje wtedy i tylko wtedy, gdy { m a x ( U , V ) ≤ t } , więc jeśli U i V są niezależne, a W = m a x ( U , V ) , to F W ( t ) = F U ( t ) ∗{U≤t, V≤t} {max(U,V)≤t} U V W=max(U,V) tak, aby α dodatniej liczby całkowitej (na przykład, α = n ) ma X = m w X ( Z 1 , . . . Z n ) w którym Z „S są IIDFW(t)=FU(t)∗FV(t) α α=n X= m a x ( Z1, . . . Zn) Z
Dla możemy przełączyć się, aby uzyskać F Z = F n X , więc X będzie tą zmienną losową, tak że maksimum n niezależnych kopii ma taki sam rozkład jak Z (i nie byłby to jeden z naszych znajomych znajomych , ogólnie).α = 1 / n faZ= F.nX X n Z
Przypadek dodatniej liczby wymiernej (powiedzmy α = m / n ) wynika z poprzedniego, ponieważ ( F Z ) m / n = ( F 1 / n Z ) m .α α=m/n
Dla irracjonalnego wybierz sekwencję dodatnich racjonalności a k zbiegających się do α ; wtedy sekwencja X k (gdzie możemy użyć powyższych sztuczek dla każdego k ) zbiegnie się w rozkładzie do pożądanego X.α ak α Xk k X
Może nie jest to charakterystyka, której szukasz, ale przynajmniej daje pewne pojęcie, jak myśleć o dla α odpowiednio ładnego. Z drugiej strony, nie jestem do końca pewny, jak ładniej może być naprawdę: masz już CDF, więc reguła łańcucha daje ci PDF i możesz obliczyć momenty, aż słońce zajdzie ...? Prawdą jest, że większość Z nie będzie miała X znanego z α = √faαZ α Z X , ale gdybym chciał pobawić się przykładem szukania czegoś interesującego, mógłbym spróbowaćZrównomiernie rozłożone w jednostkowym przedziale zF(z)=z,0<z<1.α = 2-√ Z fa( z) = z 0 < z< 1
EDYCJA: Napisałem kilka komentarzy w odpowiedzi na @JMS i pojawiło się pytanie o moją arytmetykę, więc napiszę, co miałem na myśli, mając nadzieję, że będzie to bardziej jasne.
@ kardynał poprawnie w komentarzu do @JMS w odpowiedzi napisał, że problem upraszcza się do lub bardziej ogólnie, gdy Z niekoniecznie jest N ( 0 , 1 ) , my mają x = g - 1 ( y ) = F - 1 ( F α ( y ) ) .
Weźmy specjalny przypadek, podłączmy rzeczy i zobaczmy, jak to działa. Niech ma rozkład Exp (1), przy czym CDF F ( x ) = ( 1 - e - x ) , x > 0 , i odwrotny CDF F - 1 ( y ) = - ln ( 1 - y ) . Łatwo jest podłączyć wszystko, aby znaleźć g ; po skończeniu otrzymujemy y = g ( x ) = -X
Poniżej przedstawiono wykres wyników symulacji.
Kod R użyty do wygenerowania wykresu (etykiety minus) to
Myślę, że dopasowanie wygląda całkiem nieźle? Może nie jestem szalony (tym razem)?
źródło
Dowód bez słów
źródło
Module[ {y, w, a = 0.1, z = 3.24, f = ChiDistribution[7.6], xmin=0, xmax=5}, y = CDF[f,z]; w = InverseCDF[f, y^(1/a)]; Show[ Plot[{CDF[f, x],CDF[f,x]^a} , {x, xmin, xmax}, Filling->{1->{2}}], Graphics[{ Dashed, Arrow[{{z,0}, {z,y}}], Arrow[{{z,y}, {w,y}}], Arrow[{{w,y}, {w,0}}] }] ] ]
źródło