Jaki jest rozkład różnicy rozkładów dwóch-t

... i dlaczego ?

Zakładając , że , są niezależnymi zmiennymi losowymi o wartości odpowiednio i wariancji . Moja podstawowa książka statystyk mówi mi, że dystrybucja ma następujące właściwości: $X_1$ $X_2$ $\mu_1,\mu_2$ $\sigma^2_1,\sigma^2_2$ $X_1-X_2$

$E(X_1-X_2)=\mu_1-\mu_2$
$Var(X_1-X_2)=\sigma^2_1 +\sigma^2_2$

Powiedzmy teraz, że , są rozkładami z , stopniami swobody. Jaka jest dystrybucja ? $X_1$ $X_2$ $n_1-1$ $n_2-2$ $X_1-X_2$

To pytanie zostało zredagowane: pierwotne pytanie brzmiało: „Jakie są stopnie swobody różnicy między dwoma rozkładami t?”. . mpiktas wskazał już, że nie ma to sensu, ponieważ nie jest rozkładem t, bez względu na to, jak w przybliżeniu może być normalny (tj. wysoki df). $X_1-X_2$ $X_1,X_2$

distributions degrees-of-freedom t-distribution steffen
źródło

jest to powiązane pytanie, które może być interesujące.

mpiktas

Google test t Satterthwaite, test t CABF (przybliżenie Cochrana do Behrensa-Fishera) i problem Behrensa-Fishera.

whuber

W szczególnym przypadku, gdy stopnie swobody wynoszą 1 (rozkład Cauchy'ego), odpowiedź na pierwotne pytanie wynosi 1. Suma (lub różnica) dwóch niezależnych zmiennych losowych rozmieszczonych w Cauchy'ego to Cauchy z parametrem skali , ale z drugiej strony Rozkład Cauchy'ego nie ma nawet wartości średniej.

2

$2$

NRH

Musisz sprawdzić rozkład Behrensa – Fishera

Wis

Odpowiedzi:

Suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie t nie jest rozkładem t. Dlatego nie można mówić o stopniach swobody tego rozkładu, ponieważ wynikowy rozkład nie ma żadnych stopni swobody w sensie, jaki ma rozkład t.

mpiktas
źródło

@mpiktas: Głupie pytanie. Jeśli rozkład tz n-1 df można wyprowadzić z sumy n niezależnych rozkładów normalnych (patrz wikipedia) i podać df wystarczająco wysoko, aby rozkład t był zbliżony do rozkładu normalnego, nie wynika z tego, że suma rozkładów t jest znowu rozkładem t?

steffen

@mpiktas: A co ze statystyką testową testu t, która wydaje się wynikać z różnicy dwóch rozkładów t?

steffen

@steffen, no. Będzie w przybliżeniu normalny, ponieważ dodasz dwie w przybliżeniu normalne zmienne rozkładowe normalne. rozkład t z wysokim df jest w przybliżeniu normalny, ale w przybliżeniu normalny niekoniecznie jest rozkładem t z wysokim df.

mpiktas

@steffen, statystyki t-testowe wyprowadza się z różnicy dwóch normalnych, a nie dwóch rozkładów-t. Zauważ, że definicja rozkładu t jest ułamkiem normalnego i pierwiastka kwadratowego chi-kwadrat.

mpiktas

@steffen, często mówię moim studentom, że nie ma głupich pytań, tylko głupi ludzie, którzy nie zadają żadnych pytań. Nie jestem bardzo popularnym nauczycielem, który powinienem dodać :)

mpiktas

Zgadzam się z powyższymi odpowiedziami, różnica dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie t nie jest rozkładana. Ale chcę dodać kilka sposobów na obliczenie tego.

Najłatwiejszym sposobem obliczenia tego jest użycie metody Monte Carlo. Na przykład w R losowo próbkujesz 100 000 liczb z pierwszego rozkładu t, a następnie losowo próbujesz kolejne 100 000 liczb z drugiego rozkładu t. Zezwalasz na pierwszy zestaw 100 000 liczb minus drugi zestaw 100 000 liczb. Uzyskane 100 000 nowych liczb to losowe próbki z rozkładu różnicy między dwoma rozkładami. Możesz obliczyć średnią i wariancję, po prostu używając mean()i var().
1. Nazywa się to rozkładem Behrensa – Fishera. Możesz odnieść się do strony Wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Behrens%E2%80%93Fisher_distribution . CI podane przez ten rozkład nazywa się „interwałem odniesienia”, nie jest to CI .
2. Integracja numeryczna może działać. Jest to kontynuowane jako punktator 2. Możesz odnieść się do Sekcji 2.5.2 Inferencji Bayesowskiej w analizie statystycznej według Boxa, George'a EP, Tiao, George'a C. Zawiera ona szczegółowe etapy integracji i sposób, w jaki jest to przybliżone rozkład Behrensa – Fishera.

Shijia Bian
źródło

Wydaje mi się, że rozkład Behrensa-Fishera ma zastosowanie tam, gdzie wariancja dwóch rozkładów t nie jest równa. Czy to samo można powiedzieć, jeśli wariancja dwóch rozkładów jest równa?

Ian Sudbery

Przepraszam, wciśnięty klawisz Enter dwa wcześnie? Aby kontynuować ... Na przykład powiedzmy, że mamy dwa normalne rozkłady o jednakowej, ale nieznanej wariancji, ale różnych środkach. Wyciągamy dwie próbki z każdej z tych dystrybucji. Różnica średnich między dwiema próbkami z tego samego rozkładu będzie zgodna z rozkładem t, ale jaki jest rozkład różnicy różnic.

Ian Sudbery