Wyprowadzenie dwuwymiarowego rozkładu Poissona

Niedawno spotkałem dwuwymiarowy rozkład Poissona, ale jestem trochę zdezorientowany, jak można go uzyskać.

Rozkład podaje:

$P(X = x, Y = y) = e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})} \displaystyle\frac{\theta_{1}^{x}}{x!}\frac{\theta_{2}^{y}}{y!} \sum_{i=0}^{min(x,y)}\binom{x}{i}\binom{y}{i}i!\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)^{i}$

Z tego, co mogę zebrać, pojęcie $\theta_{0}$ jest miarą korelacji między $X$ i $Y$ ; stąd, gdy $X$ i $Y$ są niezależne, $\theta_{0} = 0$ a rozkład staje się po prostu iloczynem dwóch jednowymiarowych rozkładów Poissona.

Mając to na uwadze, mój zamieszanie opiera się na określenie sumy - Zakładam, że termin ten wyjaśnia zależność między $X$ i $Y$ .

Wydaje mi się, że summand stanowi pewnego rodzaju iloczyn dwumianowych skumulowanych funkcji rozkładu, w których prawdopodobieństwo „sukcesu” jest określone przez $\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)$a prawdopodobieństwo „awarii” podaje$i!^{\frac{1}{min(x,y)-i}}$ , ponieważ$\left(i!^{\frac{1}{min(x,y)-i!}}\right)^{(min(x,y)-i)} = i!$, ale mogę być z tym daleko.

Czy ktoś mógłby pomóc w uzyskaniu tego rozkładu? Ponadto, gdyby można było włączyć do jakiejkolwiek odpowiedzi, w jaki sposób model ten mógłby zostać rozszerzony na scenariusz wielowymiarowy (powiedzmy trzy lub więcej zmiennych losowych), byłoby świetnie!

(Na koniec zauważyłem, że wcześniej było podobne pytanie ( Zrozumienie dwuwymiarowego rozkładu Poissona ), ale tak naprawdę nie zbadano pochodnej).

W prezentacji slajdów Karlis i Ntzoufras definiują dwuwymiarową Poissona jako rozkład gdzie X i niezależnie mają rozkłady Poissona θ i . Przypomnij sobie, że taki podział oznacza$(X,Y)=(X_1+X_0,X_2+X_0)$$X_i$$\theta_i$

$$\Pr(X_i=k) = e^{-\theta_i}\frac{\theta_i^k}{k!}$$

dla $k=0, 1, 2, \ldots.$

Zdarzenie jest rozłącznym połączeniem zdarzeń$(X,Y)=(x,y)$

$$(X_0,X_1,X_2) = (i,x-i,y-i)$$

dla wszystkich które sprawiają, że wszystkie trzy składowe są nieujemnymi liczbami całkowitymi, z których możemy wywnioskować, że 0 ≤ i ≤ min ( x , y ) . Ponieważ X i są niezależne, ich prawdopodobieństwa się mnożą, skąd$i$$0 \le i \le \min(x,y)$$X_i$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)=\Pr((X,Y)=(x,y)) \\= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \Pr(X_0=i)\Pr(X_1=x-i)\Pr(X_2=y-i).$$

To jest wzór; skończyliśmy. Ale aby zobaczyć, że jest to równoważne ze wzorem w pytaniu, użyj definicji rozkładu Poissona, aby zapisać te prawdopodobieństwa w kategoriach parametrów i (zakładając, że żadne z θ 1 , θ 2 nie jest zerowe) przerób je algebraicznie wyglądać jak najbardziej jak produkt Pr ( X 1 = x ) Pr ( X 2 = y ) :$\theta_i$$\theta_1,\theta_2$$\Pr(X_1=x)\Pr(X_2=y)$

$$\eqalign{ F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)&= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \left( e^{-\theta_0} \frac{\theta_0^i}{i!}\right) \left( e^{-\theta_1} \frac{\theta_1^{x-i}}{(x-i)!}\right) \left( e^{-\theta_2} \frac{\theta_2^{y-i}}{(y-i)!}\right) \\ &=e^{-(\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\left(e^{-\theta_0}\sum_{i=0}^{\min(x,y)} \frac{\theta_0^i}{i!}\frac{x!\theta_1^{-i}}{(x-i)!}\frac{y!\theta_2^{-i}}{(y-i)!}\right). }$$

Jeśli naprawdę chcesz - jest to nieco sugestywne - możesz ponownie wyrazić wyrażenia w sumie przy użyciu współczynników dwumianowych i ($\binom{x}{i}=x!/((x-i)!i!)$ poddając się$\binom{y}{i}$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y) = e^{-(\theta_0+\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\sum_{i=0}^{\min(x,y)}i!\binom{x}{i}\binom{y}{i}\left(\frac{\theta_0}{\theta_1\theta_2}\right)^i,$$

dokładnie jak w pytaniu.

---

Uogólnienie na scenariusze wielowymiarowe może przebiegać na kilka sposobów, w zależności od potrzebnej elastyczności. Najprostszym byłoby rozważenie dystrybucji

$$(X_1+X_0, X_2+X_0, \ldots, X_d+X_0)$$

dla niezależnych zmiennych rozkładu Poissona . Dla większej elastyczności można wprowadzić dodatkowe zmienne. Na przykład użyj niezależnych zmiennych Poissona η i Y 1 , … , Y d i rozważ wielowymiarowy rozkład X i + ( Y i + Y i + 1 + ⋯ + Y d ) , i = 1 , $X_0, X_1, \ldots,X_d$$\eta_i$$Y_1, \ldots, Y_d$$X_i + (Y_i + Y_{i+1} + \cdots + Y_d)$$i=1, 2, \ldots, d.$

Oto sposób na uzyskanie dwuwymiarowego rozkładu Poissona.

Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi poissona o parametrach θ 0 , θ 1 , θ 2 . Następnie definiujemy Y 1 = X 0 + X 1 , Y 2 = X 0 + X 2 . Zmienna X 0 , wspólna dla obu Y 1 i Y 2 , powoduje parę ( Y 1 , Y $X_0, X_1, X_2$$\theta_0, \theta_1, \theta_2$$Y_1=X_0+X_1, Y_2 = X_0+X_2$$X_0$$Y_1$$Y_2$ do skorelowania. Następnie musimy obliczyć funkcję masy prawdopodobieństwa:$(Y_1, Y_2)$

Mam nadzieję, że to pomoże!

$$\begin{align} P(Y_1=y_1, Y_2=y_2) &= P(X_0+X_1=y_1, X_0+X_2=y_2) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} P(X_0=x_0) P(X_1=y_1-x_0) P(X_2=y_2-y_0) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} e^{-\theta_0} \frac{{\theta_0}^{x_0}}{x_0!} e^{-\theta_1} \frac{{\theta_1}^{y_1-x_0}}{(y_1-x_0)!} e^{-\theta_2} \frac{{\theta_2}^{y_2-x_0}}{(y_2-x_0)!} \\ &= e^{-\theta_0-\theta_1-\theta_2} {\theta_1}^{y_1} {\theta_2}^{y_2} \sum_{x_0=0}^{\min(y_1,y_2)} \left(\frac{\theta_0}{\theta_1 \theta_2}\right)^{x_0} x_0! \binom{y_1}{x_0} \binom{y_2}{x_0} \end{align}$$