Jaki jest rozkład stosunku dwóch zmiennych losowych Poissona?

22

Mam pytanie dotyczące zmiennych losowych. Załóżmy, że mamy dwie zmienne losowe i Y . Powiedzmy, że X jest rozkładem Poissona z parametrem λ 1 , a Y jest rozkładem Poissona z parametrem λ 2 .XYXλ1Yλ2

Kiedy budujesz złamanie na podstawie i nazywasz to losową zmienną Z , jak to jest rozłożone i co to znaczy? Czy to jest λ 1 / λ 2 ?X/YZλ1/λ2

MarkDollar
źródło
Po prostu natknąłem się na to, szukając referencji. Wnioskowanie o współczynniku Poissona jest dość proste, zarówno dla częstych ( Nelson, 1970, „Przedziały ufności dla stosunku dwóch współczynników Poissona i przedziałów predykcyjnych Poissona” ), jak i Bayesianów (Lindley, 1965). Nie ma też problemu z zerowymi mianownikami!
Frank Tuyl
4
Pierwotny pytający i inni mogą być zainteresowani zauważeniem, że ma wartość oczekiwaną ( λ 1 / λ 2 ) ( 1 - e - λ 2 ) . W zależności od zastosowania mogą być większe niż jest to X / Y . Aby uzyskać więcej informacji, zobacz mój artykuł w Journal of Analytical Atomic Spectrometry, 28 , 52, zatytułowany „Statystyka statystyczna w stosunkach izotopowych” w / DOI: 10.1039 / C2JA10205F. X/(Y+1)(λ1/λ2)(1eλ2)X/Y
Jest to często spotykany problem w astronomii. Rozwiązanie bayesowskie zostało opracowane przez Park i in. (2006, Astrophysical Journal, v652, 610-628, Bayesian Estimation of Hardness Ratits: Modeling and Computations ). Obejmują one zanieczyszczenie tła w ich leczeniu.
user78543
Z abstrakcji nie jest oczywiste, że mają do czynienia z pytaniem PO. Jak ten artykuł odnosi się do rozkładu stosunku dwóch zmiennych losowych Poissona?
Andy

Odpowiedzi:

11

Myślę, że będziesz miał z tym problem. Ponieważ zmienna Y będzie miała zero, X / Y będzie mieć pewne niezdefiniowane wartości, takie, że nie dostaniesz rozkładu.

rachunek_80
źródło
9
+1 Zgadza się. Ale (aby uniknąć ewentualnego zamieszania) problemem nie jest tylko to, że może wynosić 0 : to, że może równać się 0 z prawdopodobieństwem dodatnim. (Na przykład iloraz normalnych ma rozkład, mimo że mianownik może być równy 0. ) Zatem X / Y jest niezdefiniowane z prawdopodobieństwem dodatnim, co powoduje, że jego średnia (i każdy inny moment) również nie jest zdefiniowana. Y00 0X/Y
whuber
1
+1, ale w literaturze na temat odsetka fałszywych odkryć ludzie nie mają problemu z gdzie X jest prawdziwymi pozytywami, a Y jest całkowitą liczbą pozytywów :-). Konwencjonalnie zawsze rozumie się, że 0 na 0 równa się 0.X/YXY
NRH
1
@Mark: Prawdopodobnie lepiej zadać to pytanie jako nowe pytanie i uzyskać szczegółowe informacje na temat tego, co próbujesz osiągnąć.
bill_080
2
@NRH W Twoim przypadku istnieje silna zależność na Y . To całkowicie zmienia rzeczy, ponieważ teraz prawdopodobieństwo stosunku dodatniego do zerowego wynosi zero. XY
whuber
1
@ whuber, to oczywiście prawda. Dzięki za zwrócenie na to uwagi. Myślałem tylko, że może istniała jakaś nieokreślona konwencja, która nadała temu problemowi znaczenie. Ale z powyższego komentarza @ MarkDollar wydaje się, że nie było tak na początku.
NRH
8

Uświadamiając sobie, że stosunek nie jest w rzeczywistości dobrze zdefiniowanym zbiorem mierzalnym, redefiniujemy stosunek jako właściwie mierzalny zbiór

P[XYr]:=P[XrY]=y=0x=0ryλ2yy!eλ2λ1xx!eλ1
where the summation follows as long as r>0, and X and Y are independent Poisson variables. The density follows from the Radon-Nykodym theorem.
Aaron Sheldon
źródło
Suppose that Y comes from a zero-truncated Poisson distribution. Would the answer then be:
Brash Equilibrium