Jak rozwijać intuicję dla prawdopodobieństwa warunkowego?

W wykładach wideo z Harvard's Statistics 110: Prawdopodobieństwo, które można znaleźć na iTunes i YouTube, napotkałem ten problem. Próbowałem to podsumować tutaj:

Załóżmy, że otrzymujemy losowy układ dwóch kart ze standardowej talii.

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie karty są asami, biorąc pod uwagę, że mamy co najmniej jednego asa?

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces, have\ ace)}{P(have\ ace)}$$

Ponieważ posiadanie co najmniej jednego asa jest sugerowane, jeśli masz oba asy, przecięcie można zmniejszyć do tylko$P(both\ aces)$

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces)}{P(have\ ace)}$$

To jest właśnie słuszne

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{4C2\ /\ 52C2}{1-48C2\ /\ 52C2}=\frac{1}{33}$$

2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie karty są asami, biorąc pod uwagę, że mamy asa pik?

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{P(both\ aces, have\ ace\ of\ spades)}{P(have\ ace\ of\ spades)}$$

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{(3C1*1C1)\ /\ 52C2}{2!*\frac{51}{52}*\frac{1}{51}}=\frac{1}{17}$$

Gdzieś na tych przykładach zgubiłem się ...

Ten ostatni jest oczywiście taki sam jak , co ma dla mnie sens (dla mnie), że to byłaby odpowiedź. Jeśli powiedziano ci, że masz asa (powiedzmy) pik, to wiesz, że są jeszcze asy i więcej kart.$\frac{3}{51}$$3$$51$

Ale w poprzednim przykładzie matematyka wydaje się w porządku (i uważam, że wykładowca nie podałby tego przykładu, gdyby był niepoprawny ...), ale nie mogę się tym zająć.

Jak uzyskać intuicję dotyczącą tego problemu?

Aby wspomóc intuicję, rozważ wizualizację dwóch zdarzeń (zestawów wyników):

1. Zdarzenie warunkowe, czyli podane informacje.

2. Zdarzenie warunkowe, którego prawdopodobieństwo chciałbyś znaleźć.

Prawdopodobieństwo warunkowe wyznacza się, dzieląc szansę na drugą przez szansę na pierwszą.

---

Istnieją równie prawdopodobnych sposobów na rozdanie dwóch kart losowo. Wygodnym sposobem na wizualizację tych ofert jest ułożenie ich w tabeli z rzędami (powiedzmy) oznaczającymi pierwszą rozdaną kartę i kolumnami drugą kartę w rozdaniu. Oto część tej tabeli, z elipsami ( ) oznaczającymi brakujące części. Zauważ, że ponieważ dwie karty nie mogą być takie same, nie ma żadnych wpisów wzdłuż głównej przekątnej stołu. Wiersze i kolumny są uporządkowane od asów do królów:$52 \times 51$$\cdots$

Pytania koncentrują się na asach. Informacja „mamy co najmniej jednego asa” lokalizuje parę w pierwszych czterech rzędach lub pierwszych czterech kolumnach. Naszym zdaniem możemy to sobie wyobrazić schematycznie, kolorując te rzędy i kolumny. Pokolorowałem je na czerwono, ale tam gdzie pojawiają się oba asy, pokolorowałem je na czarno:

Istnieją par wszystkich asów i inne pary z co najmniej jednym asem, w sumie par, na których warunkujesz, jak pokazano zarówno przez czerwony, jak i czarny obszar. Ponieważ wszystkie takie pary są jednakowo prawdopodobne, szansa na pierwszą jest taka$2\times 6 = 12$$2\times (4\times 48) = 384$$12+384=396$

$$\frac{12}{396} = \frac{1}{33}.$$

Jest to czarna frakcja regionu czerwonego + czarnego.

Drugie pytanie dotyczy „mamy asa pik”. Odpowiada to tylko pierwszemu wierszowi i kolumnie:

Teraz są tylko takich par z dwoma asami i innych par z asem pik, w sumie takich par. Rozumując dokładnie tak jak poprzednio, szanse na dwa asy są$2\times 3 = 6$$2\times 48=96$$96+6 = 102$

$$\frac{6}{102} = \frac{1}{17}.$$

Ponownie jest to czarna frakcja regionu czerwony + czarny.

Dla porównania, ostatni rysunek obejmuje poprzedni pokazany na różowo i szaro. Porównanie tych regionów pokazuje, co się wydarzyło: przechodząc od pierwszego pytania do drugiego, liczba par w zdarzeniu warunkującym (różowym) spadła do około jednej czwartej pierwotnej liczby (czerwonych), podczas gdy liczba odnośnych par spadła tylko o połowę (od szarego do czarnego, od do ).$12$$6$

---

Uważam, że takie schematyczne liczby są pomocne nawet - być może szczególnie - przy próbie zrozumienia bardziej skomplikowanych koncepcji prawdopodobieństwa, takich jak filtracja algebr sigma .

Innym sposobem skonfigurowania problemu, który prowadzi do drugiego obliczenia, jest:

Dobiera się dwie karty z talii. Jakie jest prawdopodobieństwo dwóch asów, biorąc pod uwagę, że pierwszą wyciągniętą kartą był as?

Frazowanie ułatwia kontrast z pierwszym obliczeniem. Szansa na wybór dwóch asów nie zmienia się, ale warunek posiadania pierwszej karty jako asa jest bardziej restrykcyjny niż warunek, jeśli któryś z nich jest asem. Oznacza to, że w obliczeniu prawdopodobieństwa warunkowego pożądana kombinacja musi wystąpić wśród mniejszej liczby opcji, więc ma większe prawdopodobieństwo.

Dwa różne frazowania (as pik w porównaniu z pierwszą kartą asa) są podobne, ponieważ naruszają symetrię / wymienność między asami: koloru lub kolejności nie można dowolnie zamieniać.

Na początku trudno mi było mieć intuicję.

Jednym z pomysłów jest maksymalne ograniczenie problemu. W tym przypadku, jak zauważył Steve, jednym identycznym problemem jest: Mój sąsiad ma dwoje dzieci - wiesz, że jedno z nich jest chłopcem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ma dwóch chłopców.

Pierwszy pomysł polega na tym, że mam jednego chłopca, drugie dziecko ma 1/2 szansy na bycie dziewczynką i 1/2 na bycie chłopcem, ale w tym przypadku nie bierzesz wszystkich informacji, które dają ci ten fakt ( przynajmniej masz chłopca), ponieważ zakłada się, że ten chłopiec może być najmłodszym dzieckiem, będąc najstarszą dziewczynką lub odwrotnie, lub obaj są chłopcami, co oznacza, że ​​tylko jeden z trzech możliwych wyników jest korzystny.

Jak powiedziałem, łatwiej jest doprowadzić problem do końca ...

Przypadek 1: Przypadek abstrakcyjny identyczny z „mamy jednego asa” -> W tym przypadku wyobrażam sobie, że mój sąsiad nie ma 2 dzieci, ale 27, a wiesz, że 26 to chłopcy, prawdopodobieństwo tego jest prawie zerowe. W tym przypadku jasne jest, że ta informacja daje wiele informacji, że najprawdopodobniej pozostałe dziecko jest dziewczynką. Mówiąc ściślej, będziesz miał jeden przypadek z 27 chłopcami, powiedzmy krotkę (b, b, b, b, b, b ..., b) i 27 przypadków z 1 dziewczyną i 26 chłopcami (g, b, b , b ...), (b, g, b, b, b ...), więc prawdopodobieństwo wszystkich chłopców wynosi 1/27, ogólnie będzie to 1 / (N + 1)

case2: konkretne informacje. Byłoby to identyczne z „Mamy asa pik” lub „mamy pierwszą kartę będącą asem”. W takim przypadku wyobraźmy sobie, że nasz sąsiad ma 26 dzieci wszystkich chłopców i jest w ciąży z 27 dzieckiem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 27. będzie chłopcem?

W przypadku case2 jestem prawie pewien, że wszyscy możemy zrozumieć intuicję potrzebną do tego rodzaju nie tak oczywistych problemów prawdopodobieństwa warunkowego.

Jeśli chcesz się wzbogacić, musisz postawić na pierwszą sprawę z 26 chłopcami i 27., ponieważ brak konkretnych informacji oznacza dużo energii probabilistycznej dla pozostałego dziecka, podczas gdy w drugim przypadku entropia jest ogromna, mamy brak informacji, aby wiedzieć, gdzie obstawiać.

Mam nadzieję, że to się przyda

Jak stwierdzić, że odpowiedź to 3/51, nie licząc?

Jeśli wziąłeś asa pik w pierwszej kolejności. Wiem, które karty są w pakiecie. Tak więc na 51 kartach są jeszcze 3 asy. więc dla drugiego masz 3/51 szans na posiadanie dwóch asów.

I jak intuicyjnie zrozumieć różnicę między tymi dwoma scenariuszami?

To dlatego, że „Mają jednego asa” są zawarte w „Mają dwa asy”. Ale „Miej asa pik” nie jest uwzględnione w „Miej dwa asy”. To jest różnica.

W rzeczywistości, jeśli masz dwóch asów, masz jednego, ale może nie asa pik. To nie jest takie samo prawdopodobieństwo.

Ta odpowiedź dotyczyła innego postu, który został przeniesiony na ten ..