Czytam komentarz do artykułu, a autor stwierdza, że czasami, mimo że estymatory (znalezione przez ML lub maksymalne quasilikelihood) mogą nie być spójne, moc testu ilorazu wiarygodności lub quasi-ilorazu wiarygodności może nadal być zbieżna z 1, ponieważ liczba obserwowanych danych dąży do nieskończoności (spójność testu). Jak i kiedy to się dzieje? Czy znasz jakieś bibliografie?
mathematical-statistics
references
inference
power
consistency
Stary człowiek na morzu.
źródło
źródło
Odpowiedzi:
[Myślę, że może to być przykład sytuacji omawianej w twoim pytaniu.]
Istnieje wiele przykładów niespójnych estymatorów ML. Niespójność jest powszechnie obserwowana w przypadku szeregu nieco skomplikowanych problemów z mieszaniną i problemów cenzury.
[Spójność testu polega w zasadzie na tym, że moc testu dla (ustalonej) fałszywej hipotezy wzrasta do jednego jako .]n → ∞
Radford Neal podaje przykład w swoim blogu z 2008-08-09 Niespójne oszacowanie maksymalnego prawdopodobieństwa: przykład „zwykły” . Polega na oszacowaniu parametru w:θ
(Neal używa gdzie mam θ ), gdzie oszacowanie ML θ będzie miało tendencję do 0 jako n → ∞ (i rzeczywiście prawdopodobieństwo może być znacznie wyższe w piku w pobliżu 0 niż w przypadku wartości rzeczywistej dla dość niewielkich rozmiarów próbek). Niemniej jednak jest tak, że szczyt znajduje się w pobliżu prawdziwej wartości θ , jest po prostu mniejszy niż ten w pobliżu 0.t θ θ 0 n → ∞ θ
Wyobraź sobie teraz dwa przypadki związane z tą sytuacją:
a) przeprowadzenie testu stosunku wiarygodności stosunku do alternatywnego H 1 : θ < θ 0 ;H.0: θ = θ0 H.1: θ < θ0
b) wykonanie testu stosunku wiarygodności stosunku do alternatywnego H 1 : θ ≠ θ 0 .H.0: θ = θ0 H.1: θ ≠ θ0
W przypadku (a) wyobraź sobie, że prawdziwe (tak, że alternatywa jest prawdziwa, a 0 to druga strona prawdziwej θ ). Następnie, pomimo faktu, że prawdopodobieństwo bardzo bliskie 0 przekroczy prawdopodobieństwo dla θ , prawdopodobieństwo przy θ mimo to przekracza prawdopodobieństwo przy θ 0 nawet w małych próbkach, a stosunek będzie nadal wzrastał jako n → ∞ , w takich sposób, aby prawdopodobieństwo odrzucenia w teście współczynnika prawdopodobieństwa sięgało 1.θ < θ0 0 θ θ θ θ0 n → ∞
Rzeczywiście, nawet w przypadku (b), o ile jest ustalone i ograniczone od 0 , powinno również być tak, że iloraz prawdopodobieństwa wzrośnie w taki sposób, aby prawdopodobieństwo odrzucenia w teście ilorazu prawdopodobieństwa również podejście 1.θ0 0
Wydaje się więc, że jest to przykład niespójnego oszacowania ML, w którym moc LRT powinna mimo wszystko osiągnąć 1 (z wyjątkiem sytuacji, gdy ).θ0= 0
[Zauważ, że tak naprawdę nie ma w tym nic, co nie jest jeszcze odpowiedzią Whubera, co moim zdaniem jest przykładem przejrzystości i jest znacznie prostsze do zrozumienia różnicy między spójnością testu a spójnością estymatora. Fakt, że niespójny estymator w konkretnym przykładzie nie był ML, nie ma tak naprawdę znaczenia, o ile zrozumienie tej różnicy - i wprowadzenie niespójnego estymatora, który jest konkretnie ML - jak próbowałem tutaj zrobić - tak naprawdę nie zmienia wyjaśnienie w jakikolwiek merytoryczny sposób. Jedynym prawdziwym punktem tego przykładu jest to, że myślę, że rozwiązuje on Twoje obawy związane z użyciem estymatora ML.]
źródło
źródło