Szacowanie liczby piłek poprzez sukcesywne wybieranie piłki i oznaczanie jej

9

Powiedzmy, że mam N piłek w torbie. Przy pierwszym losowaniu zaznaczam piłkę i wkładam ją do torby. Podczas drugiego losowania, jeśli podniosę zaznaczoną piłkę, zwracam ją do torby. Jeśli jednak podniosę nieoznakowaną piłkę, oznaczę ją i wrócę do torby. Kontynuuję to dla dowolnej liczby losowań. Jaka jest oczekiwana liczba piłek w torbie przy danej liczbie losowań i zaznaczonej / nieoznaczonej historii losowań?

ashemon
źródło
1
Być może powiązane: czy spojrzałeś na metodę przechwytywania i wychwytywania w celu oszacowania liczebności populacji? en.wikipedia.org/wiki/Mark_and_recapture
a.arfe
„Liczby oczekiwanej” nie można rozumieć w jej zwykłym technicznym znaczeniu wartości oczekiwanej, ponieważ nie istnieje rozkład prawdopodobieństwa N. To brzmi jak prosicie dla estymatora zN.
whuber

Odpowiedzi:

2

Oto pomysł. PozwolićI być skończonym podzbiorem liczb naturalnych, które będą służyć jako możliwe wartości dla N. Załóżmy, że mamy wcześniejszą dystrybucjęI. Napraw nie losową dodatnią liczbę całkowitąM. Pozwolićk być zmienną losową oznaczającą liczbę oznaczeń piłki Mczerpie z torby. Celem jest znalezienieE(N|k). Będzie to funkcjaM,k i przeor.

Zgodnie z regułą Bayesa mamy

P(N=j|k)=P(k|N=j)P(N=j)P(k)=P(k|N=j)P(N=j)rIP(k|N=r)P(N=r)

Przetwarzanie danych P(k|N=j) jest znanym obliczeniem, które stanowi wariant problemu kolektorów kuponów. P(k|N=j) to prawdopodobieństwo, które obserwujemy k różne kupony w M rysuje, gdy są jkupony ogółem. Zobacz tutaj argument za

P(k|N=j)=(jk)k!S(M,k)jM

gdzie oznacza liczbę Stirlinga drugiego rodzaju . Możemy wtedy obliczyćS

E(N|k)=jIjP(N=j|k)

Poniżej znajdują się obliczenia dla różnych i . W każdym przypadku używamy munduru przedkM[k,10k]

MkE(N)1057.991555.60151023.69301520.00302039.53
użytkownik35546
źródło