Powiedzmy, że mam N piłek w torbie. Przy pierwszym losowaniu zaznaczam piłkę i wkładam ją do torby. Podczas drugiego losowania, jeśli podniosę zaznaczoną piłkę, zwracam ją do torby. Jeśli jednak podniosę nieoznakowaną piłkę, oznaczę ją i wrócę do torby. Kontynuuję to dla dowolnej liczby losowań. Jaka jest oczekiwana liczba piłek w torbie przy danej liczbie losowań i zaznaczonej / nieoznaczonej historii losowań?
9
Odpowiedzi:
Oto pomysł. PozwolićI być skończonym podzbiorem liczb naturalnych, które będą służyć jako możliwe wartości dla N . Załóżmy, że mamy wcześniejszą dystrybucjęI . Napraw nie losową dodatnią liczbę całkowitąM . Pozwolićk być zmienną losową oznaczającą liczbę oznaczeń piłki M czerpie z torby. Celem jest znalezienieE(N|k) . Będzie to funkcjaM,k i przeor.
Zgodnie z regułą Bayesa mamy
Przetwarzanie danychP(k|N=j) jest znanym obliczeniem, które stanowi wariant problemu kolektorów kuponów. P(k|N=j) to prawdopodobieństwo, które obserwujemy k różne kupony w M rysuje, gdy są j kupony ogółem. Zobacz tutaj argument za
gdzie oznacza liczbę Stirlinga drugiego rodzaju . Możemy wtedy obliczyćS
Poniżej znajdują się obliczenia dla różnych i . W każdym przypadku używamy munduru przedk M [k,10k]
źródło