Czy ujemny dwumian nie jest wyrażalny jak w rodzinie wykładniczej, jeśli istnieją 2 niewiadome?

Miałem zadanie domowe, aby wyrazić ujemny rozkład dwumianowy jako wykładniczą rodzinę rozkładów, biorąc pod uwagę, że parametr dyspersji był znaną stałą. Było to dość łatwe, ale zastanawiałem się, dlaczego wymagałyby, abyśmy utrzymali ten parametr w naprawie. Odkryłem, że nie mogę znaleźć sposobu, aby ustawić go we właściwej formie, ponieważ dwa parametry są nieznane.

Patrząc online, znalazłem twierdzenia, że nie jest to możliwe. Nie znalazłem jednak żadnego dowodu, że to prawda. Wydaje mi się, że sam też nie mogę tego wymyślić. Czy ktoś ma na to dowód?

Zgodnie z żądaniem poniżej załączam kilka roszczeń:

„Rodzina ujemnych rozkładów dwumianowych o ustalonej liczbie awarii (inaczej parametr czasu zatrzymania) r jest rodziną wykładniczą. Jednak, gdy dowolny z wyżej wymienionych stałych parametrów może się zmieniać, uzyskana rodzina nie jest rodziną wykładniczą. „ http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_family

„Dwuparametrowy ujemny rozkład dwumianowy nie jest członkiem rodziny wykładniczej. Ale jeśli traktujemy parametr dyspersji jako znaną, stałą stałą, to jest on członkiem”. http://www.unc.edu/courses/2006spring/ecol/145/001/docs/lectures/lecture21.htm

self-study mathematical-statistics negative-binomial proof exponential-family Larry
źródło

Dodałem kilka powyższych roszczeń.

Larry

Odpowiedzi:

Jeśli spojrzysz na gęstość ujemnego rozkładu dwumianowego względem miary zliczania na zbiorze liczb całkowitych, część w tej gęstości nie może być wyrażone jako .

\begin{aligned} p (x | N, p) & = (\binom{x + N - 1}{N - 1}) p^{N} (1 - p)^{x} \\ = \frac{(x + N - 1)!}{x! (N - 1)!} p^{N} (1 - p)^{x} \\ = \frac{(x + N - 1) \dots (x + 1)}{(N - 1)!} \exp {N \log (p) + x \log (1 - p)} \\ = \frac{\exp {N \log (p)}}{(N - 1)!} \exp {N \log (p) + x \log (1 - p)} (x + N - 1) \dots (x + 1) \end{aligned}

$\begin{align*}p(x|N,p)&={x+N-1\choose{N-1}}p^N(1-p)^x\\ &= \frac{(x+N-1)!}{x!(N-1)!}p^N(1-p)^x\\ &= \frac{(x+N-1)\cdots(x+1)}{(N-1)!}\exp\left\{N\log(p)+x\log(1-p) \right\}\\ &= \frac{\exp\left\{N\log(p)\right\}}{(N-1)!}\exp\left\{N\log(p)+x\log(1-p) \right\}(x+N-1)\cdots(x+1)\end{align*}$

(x + N - 1) \dots (x + 1)

$(x+N-1)\cdots(x+1)$

\exp {A (N)^{T} B (x)}

$\exp\left\{ A(N)^\text{T}B(x)\right\}$

Xi'an
źródło